Критерий Коши существование границы функции

Определение:Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке и \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x' ,x''\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|< \varepsilon
0< |x'-a|< \delta
0< |x''-a|< \delta

Теорема(Критерий Коши):  Конечный предел в точке x=a существует \Leftrightarrow f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость: Пусть предел\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}

\forall x',x''\in U_{\delta }^{0}(a):|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)+(A-f(x'')|\leq |f(x')-A|+|f(x'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon

Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а. Воспользуемся определение по Гейне:\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A

Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty }-произведение последовательности \in U_{\delta }^{0}(a) и и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a .

Докажем что \left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n}\left. \right \}.

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U _{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f({x}'-f{x}'')|< \varepsilon. Т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )

Для \delta _{\varepsilon } :\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{n}}-a|< \delta _{\varepsilon } ,

\forall m\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{m}}-a|< \delta _{\varepsilon } .

x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon-это следует из условия Коши.

\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon —\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrowпо Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}-сходящаяся.

Покажем что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. 

\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A

x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A

{x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}'

x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A

Теорема доказана.Рекомендации: 

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 Критерий Коши существование предела функций;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 Предел функции;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,

 

Критерий Коши существование границы функции: 1 комментарий

  1. Нельзя делать формулы картинками! Только laTeX выражения. Вот так [latex] \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x' ,x''\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|< \varepsilon [/latex]
    Раздел «Разное» проставлен ошибочно. Меток нет. Тестов нет. Форматирование не очень качественное.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *