Определение предела последовательности и ее геометрический смысл.

Предел последовательности

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

[latex]x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots [/latex]

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

[latex](x_n) [/latex]  или  [latex](x_n)_{n=1}^{\infty}[/latex]

иногда используются фигурные скобки:

[latex]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/latex].

Пример: числовые последовательности:

1) [latex]1, 2,\dots, n,\dots[/latex];

2) [latex]1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots[/latex];

3) [latex]1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;[/latex]

Определение. Число  [latex]a[/latex] называется пределом последовательности [latex]\{x_n\}[/latex], если для каждого [latex]\varepsilon [/latex]>0 существует такой номер  [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для всех  [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство

[latex]\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex]

Если  [latex]a[/latex] — предел последовательности, то пишут : [latex]a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}[/latex].

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex].

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность [latex]\{ x_{n} \}[/latex] имеет предел, равный  [latex]a[/latex], тогда и только тогда, когда последовательность [latex]\{ x_{n}-a \}[/latex] имеет предел, равный нулю, т. е.:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}[/latex]

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности [latex] x_{n}[/latex], если:

[latex]x_{n}= \frac{n-1}{n}[/latex].

Решение:

Докажем, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex]. Так как  [latex] x_{n}=1-\frac{1}{n}[/latex], то [latex]\left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}[/latex]. Возьмем произвольное число  [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Неравенство  [latex]\left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon[/latex] будет выполняться, если [latex]\frac{1}{n}< \varepsilon[/latex]. Выберем в качестве [latex]N_{\varepsilon}[/latex]  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  [latex]N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}[/latex], например, число  [latex]N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1[/latex]. Тогда для всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] будет выполняться неравенство  [latex]\left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon [/latex]. По определению предела это означает, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex].

 Геометрический смысл предела

Согласно определению число [latex]a[/latex] является пределом последовательности  [latex] x_{n} [/latex], если при всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | x_{n}-a \right | < \varepsilon [/latex] которое можно записать в виде:

[latex]a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon [/latex]

Другими словами, для каждого  [latex] \varepsilon > 0[/latex] найдется номер  [latex] N_{\varepsilon} [/latex], начиная с которого все члены последовательности  [latex] x_{n} [/latex] принадлежат интервалу [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex].

Этот интервал называют  [latex] \varepsilon[/latex]-окрестностью точки [latex]a[/latex]и обозначают  [latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )[/latex].

[latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}[/latex].

Итак, число  [latex]a[/latex] — предел последовательности [latex] x_{n} [/latex], если для каждой [latex] \varepsilon [/latex]-окрестности точки  [latex]a[/latex] найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

48

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
  2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Таблица лучших: Последовательность

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *