Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказательство:

\square
Предположим, что \{x_n\}— ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку [a;b] .
Разделим [a;b] пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим \Delta _1=[a_1;b_1] и его длина равна b_1-a_1=\frac{b-a}{2}. Разделим отрезок \Delta _1 пополам, выберем из двух получившихся отрезков \Delta _2=[a_2;b_2] длина которого b_2-a_2=\frac{b-a}{2^2}
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков \{\Delta _n=[a_n;b_n]\} таких, что:

  1. \Delta_1\supset\Delta_2\supset... \Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset...
  2. \lim_{k\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0

Следовательно, по определению, наша последовательность \{\Delta_n\} стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
\exists c:\forall k\in\mathbb{N}\ \ c\in\Delta_k (1)
Покажем, что \exists \{x_{n_{k}}\}\rightarrow c
Так как отрезок \Delta_1 содержит бесконечное число членов последовательности \{x_n\}, то \exists n_1\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_1.
Отрезок \Delta_2 также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
\exists n_2>n_1:x_{n_{2}}\in\Delta_2
Вообще, \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n_k: x_{n_{k}}\in\Delta_k, где n_1<n_2<...<n_{k-1}<n_k
Следовательно, существует подпоследовательность \{x_{n_{k}}\} последовательности \{x_n\}
такая, что \forall k\in\mathbb{N}\ a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и \{x_{n_{k}}\} принадлежат отрезку \Delta_k=[a_k;b_k], и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка \Delta_k то есть:
\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq \Bigl|C-x_{n_k}\Bigl|\leq b_k-a_k=\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{\frac{b-a}{2^k}}}} при k\to\infty По теореме о трех последовательностях
\lim_{k\to\infty}|C-{x_{n_{k}}}|=0 \Rightarrow \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=c
Теорема доказана \blacksquare

Замечание

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Интересно знать:

  • Метод, примененный в доказательстве данной теоремы ,который  состоит в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, называется методом Больцано, он часто используется при доказательстве других теорем.
  • Теорему о трех последовательностях называют также теорема о двух милиционерах. Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах её называют по-разному: теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

Пример

Показать, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный +\infty

Решение показать

Литература:

Тест

Тест на проверку знаний по теме: «Теорема Больцано-Вейерштрасса»

Теорема Больцано-Вейерштрасса: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *