Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},...,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})

Интегралы типа \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},...,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),
где a, b, c, d — действительные числа, r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n}), сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

\frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел r_{1},r_{2},...r_{n}.
Действительно, из подстановки \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p} следует, что x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a} и dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби \frac{ax+b}{cx+d} выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx. Сделав подстановку

t=\sqrt{x+1};dx=2tdt

будем иметь

I=2\int\frac{t+2}{t^{3}-1}dt=\int(\frac{2}{t-1}-\frac{2t+2}{t^{2}+t+1})dt=2\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+1\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=
=ln\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.

2) Найти интеграл I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}. Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{2}{3} и \frac{1}{2} есть 6. Сделав замену

t=\sqrt[6]{x+2};dx=6t^{5}dt

будем иметь

I=\int\frac{6t^{5}dt}{t^{4}-t^{3}}=6\int\frac{t^{2}dt}{t-1}=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{t-1}dt=6\int(t+1+\frac{1}{t-1})dt=3t^{2}+6t+
+6ln\left|t-1\right|+C=3\sqrt[3]{x+2}+6\sqrt[6]{x+2}+6ln\left|\sqrt[6]{x+2}-1\right|+C.

Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
  • www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций
  • Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60
  • Интегрирование дробно-линейных иррациональностей: 2 комментария

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *