Предел монотонной последовательности. Пример

Определение:
Последовательность \left\{x_n\right\} называется монотонно возрастающей, если \forall n\in\mathbb N: x_n \leq x_{n+1}.

Определение:
Последовательность \left\{x_n\right\} называется монотонно убывающей, если \forall n\in\mathbb N: x_n \geq x_{n+1}

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)

Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \sup {x_n}.

Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \inf {x_n}.

Доказательство:  
Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности \left\{x_n\right\}. Докажем, что точная верхняя граница a = \sup{x_n} для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы: \forall n x_n \leq a.
Кроме того, какое бы ни взять число \varepsilon > 0, найдется такой номер N, что x_n > a - \varepsilon.
Так как последовательность монотонна, то при n > N: x_n \geq x_n, а значит, и x_n > a - \varepsilon и выполняются неравенства: 0\leq a - x_n < \varepsilon \vee \left | x_n - a \right | <\varepsilon откуда и следует, что \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a. \blacksquare

Пример. Доказать, что последовательность x_n = \frac{1}{n} сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального n: x_n = \frac{1}{n} > 0.

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

x_n - x_{n-1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} > 0 \Rightarrow x_n > x_{n-1}

а, значит, последовательность {x_n} монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. \blacksquare
Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • webmath.ru

Предел монотонной последовательности

Тест

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *