Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

Свойство  1

Если f,g\in \mathbb{R}[a;b] , то \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}  \varphi (x)=\alpha f+\beta g\in \mathbb{R}[a;b] \int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx .

Доказательство:

Пусть \delta _{T}(\xi ,f),\delta _{T}(\xi ,g),\delta _{T}(\xi ,\varphi )   — интегральные суммы для соответствующих функций, тогда: \delta _{T}(\xi ,\varphi )=\alpha \delta _{T}(\xi ,f)+\beta \delta _{T}(\xi ,g) . Если \lambda (T)\rightarrow 0 , то \alpha \delta _{T}(\xi ,t)\rightarrow \alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx,  \beta \delta _{T}(\xi ,g)\rightarrow \beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx .

Свойство 2

Если f,g\in \mathbb{R}[a;b] , то fg\in \mathbb{R}[a;b]

Доказательство:

Воспользуемся критерием интегрируемости:

1) fg  — ограничены, так как  f  — ограничена по условию,  g  — ограничена по условию. \left | f(x) \right |\leq C_{1}, \left | g(x) \right |\leq C_{2}, \left | fg(x) \right |=\left | f(x) \right |*\left | g(x) \right |\leq C_{1}*C_{2}

2) В терминах колебаний:

fg=\varphi; x^{1},x^{n}\in \Delta _{i}[x_{i-1};x_{i}];

\varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})=f(x^{n})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})=

f(x^{2})g(x^{2})-f(x^{1})f(x^{n})+f(x^{1})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})\leq

g(x^{n})(f(x^{n})-f(x^{1}))+f(x^{1})(g(x^{n})-g(x^{1}))\leq

C((f(x^{n})-f(x^{1}))+(g(x^{n})-g(x^{1}));

\omega _{i}(f)=M_{i}-m_{i}=\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup\left(f(x^{1})-f(x^{n})\right)\leq

C(\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(f(x^{1})-f(x^{n}))+\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(g(x^{1})-g(x^{n})))=

C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) \Rightarrow \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})\leq

C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) \Rightarrow \omega_{i}(\varphi )=  \sup(\varphi(x^{2})  -\varphi(x^{1}))

Свойство  3

Если f\left(x \right)\in \mathbb{R}[a;b] , тогда  \left| f\left(x \right)\right|\in \mathbb{R}[a;b]  и

\left| \int\limits_{a}^{b}{}f\left(x \right)dx\right|\leq \int\limits_{a}^{b}{}\left|f\left(x \right) \right|dx

Доказательство:

f=\begin{cases}-1, & \text{ } x\in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ 1, & \text{ } x\in \mathbb{Q} \end{cases}

По свойству модуля:

\forall x^{1}, x^{2}\in B_{i}=[x_{i-1};x_{i}]=\left | \left | f(x^{2}) \right |\left | f(x^{1}) \right | \right |\leq \left | f(x^{2})-f(x^{1}) \right |\Rightarrow

\left | \left | f(x^{2}) \right |-\left | g(x^{1}) \right | \right |\leq \omega_{i}(\left | f\right |)\leq\omega (f); i=\overline{1,n}\Rightarrow

0\leq\sum\limits_{i=1}^{n}{}\omega_{i}(\left | f\right |)\Delta x_{i}\leq\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i} .

Список литературы:

 

Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

Начало теста

Таблица лучших: Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *