Существование иррациональных чисел

Натуральные, целые и рациональные числа

В процессе счёта возникли натуральные числа.
\mathbb{N}=\{1,2,3,...,n,...\}.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,...,n,-n\}.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}, m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}.
Например: \frac{1}{2}; \frac{5}{8}; -\frac{1}{2}; -\frac{11}{8}; -\frac{1}{30} ...
Во множестве рациональных чисел \mathbb{Q} выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени (a*x+b=c), однако, простейшее уравнение x^2=a, a\in\mathbb{N} не всегда разрешимо в \mathbb{Q} , в частности, уравнение x^2=2 не имеет решений в \mathbb{Q} .
svg16

Необходимость иррациональных чисел

Докажем, что уравнение x^2=2 не имеет решений в \mathbb{Q} .

Теорема

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
\square  Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа p и q — числитель и знаменатель данного рационального числа; p и q — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).

\frac{p}{q}\in\mathbb{Q},   (\frac{p}{q})^{2}=2

p^{2}=2q^{2} \Rightarrow p^{2} \vdots 2

p^{2}  — чётное число, тогда p — чётное.

Отсюда: p=2s

4s^{2}=2q^{2} |:2

2s^{2}=q^{2} \Rightarrow q^{2}  — чётное \Rightarrow q  — чётное.

Получили противоречие того утверждения, что p и q — взаимно простые. \blacksquare

Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

1) \frac{3}{8}=0,375 — конечная десятичная дробь;
0,375=\frac {375}{1000}=\frac {3}{8}.
2) \frac{27}{11}=2,454545...=2,(45) — бесконечная периодическая десятичная дробь.
2,(45)=2+\frac{45}{100}+\frac{45}{100^{2}}+\frac{45}{100^{3}}+\cdots =2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots).
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}, где b_{1} — первый член геометрической прогрессии,  q — знаменатель прогрессии.
Получим: 2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)= 2+45*\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}=
=2+\frac{45}{99}=2\frac{5}{11} .
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с "0" в периоде.
0,375=0,375(0).
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с (9) с бесконечной периодической периодической дробью с (0).
2,5=2,5(0)=2,4+0,1=2,4+\frac{1}{10}= 2,4+(\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\cdots)= =2,4+\frac{9}{10}(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}+\cdots) 2,4+0,9(9)=2,4(9).

Тест "Существование иррациональных чисел".

Тестовые задания по вышеизложенной теме.

Источники:

  1. З. М. Лысенко.  Лекции по математическому анализу.
  2. В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
  3. В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).

Подробнее про «существование иррациональных чисел» на:

Wikipedia

Викизнание

Существование иррациональных чисел: 2 комментария

  1. Разберитесь, пожалуйста, со знаками препинания и пробелами. Добавьте еще ссылки на литературу и укажите страницы. Добавьте практику, если она была по этой теме. В Ваших работах должна быть минимум одна иллюстрация SVG

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *