Дифференциальным биномом называют выражение вида
где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида [latex] R (x,\sqrt[r]{x}) dx [/latex], где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой [latex] t=\sqrt[r]{x} [/latex].
2.Второму случаю соответствует целое число [latex] \frac{m+1}{n} [/latex]. Сделаем подстановку
[latex] z = x^{n} [/latex] и положим для краткости [latex] \frac{m+1}{n}-1=q [/latex], получим
Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида [latex] R (z,\sqrt[s]{a+bz}) [/latex], где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой
3. Третьему случаю соответствует целому число [latex] (\frac{m+1}{n}+p) [/latex]. Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида [latex] R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) [/latex], так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида
В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).
Примеры
1)Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} [/latex]. Здесь [latex] m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 [/latex]. Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая
[latex] x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2} [/latex]
подставим:
[latex] I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = [/latex][latex]6 \int (t^{4} — 2t^{2} + 3 — \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = [/latex][latex]\frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} — 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} — 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C [/latex]
2) Вычислить интеграл [latex] I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx[/latex]. Здесь [latex] m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}[/latex]. Так как [latex]\frac{m+1}{n} = 3[/latex] — целое (второй случай).
[latex]t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}},[/latex] [latex]x = (t^{2} — 1)^{\frac{8}{2}},[/latex] [latex]dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt[/latex]
подставим:
[latex] I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = [/latex][latex]\frac{3}{5}t^{6} — 2t^{3} + 3t + C[/latex],
[latex]t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}[/latex]
3) Вычислить интеграл [latex] I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Графиком подынтегральной функции будет:
В данном случае [latex] m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}=3 [/latex] (второй случай). Сделав подстановку
будем иметь
4) Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Здесь [latex] m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}+p=-1 [/latex] (третий случай) Сделав подстановку
будем иметь
[latex] I=\int — (\frac{dt}{a}) = [/latex][latex]-\frac{t}{a}+C=[/latex][latex]-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C. [/latex]
Литература
- В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.
Интегрирование дифференциального бинома
Интегрирование дифферециального бинома
Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |