Предел монотонной последовательности. Пример

Определение:
Последовательность $latex \left\{x_n\right\}$ называется монотонно возрастающей, если $latex \forall n\in\mathbb N:$ $latex x_n \leq x_{n+1}$.

Определение:
Последовательность $latex \left\{x_n\right\}$ называется монотонно убывающей, если [latex]\forall n\in\mathbb N:[/latex] $latex x_n \geq x_{n+1}$

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)

Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: $latex \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \sup {x_n}$.

Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: $latex \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \inf {x_n}$.

Доказательство:  
Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности $latex \left\{x_n\right\}$. Докажем, что точная верхняя граница $latex a = \sup{x_n}$ для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы: $latex \forall n$ $latex x_n \leq a$.
Кроме того, какое бы ни взять число $latex \varepsilon > 0$, найдется такой номер $latex N$, что $latex x_n > a — \varepsilon$.
Так как последовательность монотонна, то при $latex n > N$: $latex x_n \geq x_n$, а значит, и $latex x_n > a — \varepsilon$ и выполняются неравенства: $latex 0\leq a — x_n < \varepsilon \vee \left | x_n — a \right | <\varepsilon$ откуда и следует, что $latex \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$. $latex \blacksquare$

Пример. Доказать, что последовательность $latex x_n = \frac{1}{n}$ сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального $latex n$: $latex x_n = \frac{1}{n} > 0$.

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

$latex x_n — x_{n-1} =$ $latex \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} =$ $latex \frac{n+1-n}{n(n+1)} =$ $latex \frac{1}{n(n+1)} > 0 \Rightarrow x_n > x_{n-1}$

а, значит, последовательность {$latex x_n$} монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. $latex \blacksquare$
Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • webmath.ru

Предел монотонной последовательности

Тест

Предел монотонной последовательности. Пример: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *