Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

Свойство 1

Если $latex f,g\in \mathbb{R}[a;b] $, то $latex \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ $latex \varphi (x)=\alpha f+\beta g\in \mathbb{R}[a;b] $$latex \int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx $.

Доказательство:

Пусть $latex \delta _{T}(\xi ,f),\delta _{T}(\xi ,g),\delta _{T}(\xi ,\varphi ) $ — интегральные суммы для соответствующих функций, тогда: $latex \delta _{T}(\xi ,\varphi )=\alpha \delta _{T}(\xi ,f)+\beta \delta _{T}(\xi ,g) $. Если $latex \lambda (T)\rightarrow 0 $, то $latex \alpha \delta _{T}(\xi ,t)\rightarrow \alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx, $ $latex \beta \delta _{T}(\xi ,g)\rightarrow \beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx $.

Свойство 2

Если $latex f,g\in \mathbb{R}[a;b] $, то $latex fg\in \mathbb{R}[a;b] $

Доказательство:

Воспользуемся критерием интегрируемости:

1) $latex fg $ — ограничены, так как $latex f $ — ограничена по условию, $latex g $ — ограничена по условию. $latex \left | f(x) \right |\leq C_{1}, \left | g(x) \right |\leq C_{2}, \left | fg(x) \right |=\left | f(x) \right |*\left | g(x) \right |\leq C_{1}*C_{2} $

2) В терминах колебаний:

$latex fg=\varphi; x^{1},x^{n}\in \Delta _{i}[x_{i-1};x_{i}]; $

$latex \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})=f(x^{n})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})= $

$latex f(x^{2})g(x^{2})-f(x^{1})f(x^{n})+f(x^{1})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})\leq $

$latex g(x^{n})(f(x^{n})-f(x^{1}))+f(x^{1})(g(x^{n})-g(x^{1}))\leq $

$latex C((f(x^{n})-f(x^{1}))+(g(x^{n})-g(x^{1})); $

$latex \omega _{i}(f)=M_{i}-m_{i}=\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup\left(f(x^{1})-f(x^{n})\right)\leq $

$latex C(\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(f(x^{1})-f(x^{n}))+\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(g(x^{1})-g(x^{n})))= $

$latex C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) $ $latex \Rightarrow $ $latex \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})\leq $

$latex C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) $ $latex \Rightarrow $ $latex \omega_{i}(\varphi )= $ $latex \sup(\varphi(x^{2}) $ $latex -\varphi(x^{1})) $

Свойство 3

Если $latex f\left(x \right)\in \mathbb{R}[a;b] $, тогда $latex \left| f\left(x \right)\right|\in \mathbb{R}[a;b] $ и

$latex \left| \int\limits_{a}^{b}{}f\left(x \right)dx\right|\leq \int\limits_{a}^{b}{}\left|f\left(x \right) \right|dx$

Доказательство:

$latex f=\begin{cases}-1, & \text{ } x\in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ 1, & \text{ } x\in \mathbb{Q} \end{cases}$

По свойству модуля:

$latex \forall x^{1}, x^{2}\in B_{i}=[x_{i-1};x_{i}]=\left | \left | f(x^{2}) \right |\left | f(x^{1}) \right | \right |\leq \left | f(x^{2})-f(x^{1}) \right |\Rightarrow $

$latex \left | \left | f(x^{2}) \right |-\left | g(x^{1}) \right | \right |\leq \omega_{i}(\left | f\right |)\leq\omega (f); i=\overline{1,n}\Rightarrow $

$latex 0\leq\sum\limits_{i=1}^{n}{}\omega_{i}(\left | f\right |)\Delta x_{i}\leq\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i} $.

Список литературы:

Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §2, стр. 109