Дифференцируемость обратной функции

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если y=f(x) непрерывна и строго монотонна на \Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0) и если \exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y) (обратное к y=f(x)) дифференцируемо в точке y_0=f(x_0), причём \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}

Доказательство:

x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha
x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta
По теореме об обратной функции функция f имеет обратную x=\varphi(y), y\epsilon [\alpha;\beta], \varphi(x) — строго монотонна и непрерывна.
y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=
\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}

Примеры

1) Доказать, что:

(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1
y=arcsin(x), график
График функции y=arcsinx. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

y=\arcsin x, |y|<\frac{\pi}{2}
x=\sin y=\varphi(y)
\varphi'(y)=\cos y
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y} =
\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

2) Доказать, что:

( \textrm{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R}
y=arctg(x), график

Решение:

y=\textrm{arctg} x
x=\textrm{tg} y=\varphi(y)
\varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}=
\cos^2 y=\frac{1}{1+\textrm{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}

Список литературы:

Тест: дифференцируемость обратной функции

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.


Таблица лидеров показать

Дифференцируемость обратной функции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *