Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки x_0 определены функции f,g и \alpha, такие, что имеют место соотношения f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0, то функцию f называют бесконечно малой функцией в сравнении с g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))} .

Замечание:

Если \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0, то \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0 .

Примеры:

x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}, т.к. \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}.

Определение:

  • В случае, когда в записи f=\underset{x\to x_0}{o(g)}   g — бесконечно малая функция, говорят, что fбесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем g, gбесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем f.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0, f и g — бесконечно малые функции при x\to x_0, говорят, что f и g являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0  g — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция f имеет m-й порядок малости относительно функции g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0. x^2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)}; т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0 (т.к. sin \frac{1}{x} — ограниченная функция). x^3 sin\frac{1}{x} — функция более высокого порядка малости, чем x;
\tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0. \tan^2 x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. Функции \tan x и x являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1. \tan^6 x имеет 6-й порядок малости относительно x.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *