Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция f(x) принимает наибольшее значение max на отрезке [a;b] в точке x_{0}, если x_{0}\epsilon [a;b] и \forall x\epsilon [a;b]: f(x_{0})> f(x).
Аналогично функция f(x) принимает наименьшее значение min на отрезке [a;b] в точке x_{1}, если x_{1}\epsilon [a;b] и \forall x\epsilon [a;b]: f(x_{1})< f(x).

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^{2}-4x+6 на сегменте [-3;10].

Решение:

Найдем производную функции {f}'(x)=2x-4.  Найдем точки, в которых производная равна нулю: {f}'(x)=2x-4=0 \Rightarrow  x=2. Значение x=2 принадлежит сегменту [-3;10]. Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

  1. f(2)=4-8+6=2;
  2. f(-3)=9+12+6=27;
  3. f(10)=100-40+6=66.

Таким образом:
f(x)_{min_{[0;5]}}=f(2)=2;
f(x)_{max_{[0;5]}}=f(10)=66.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра h, если при заданном объеме площадь полной поверхности S является наименьшей.

Решение:

Svg.5.ex

Пусть V — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности S=2\pi x^{2}+2\pi hx, тогда V=S_{1}\times h=\pi x^{2}h, где S_{1} — площадь основания цилиндра \Rightarrow h=\frac{V}{\pi x^{2}}.

Тогда S=2\pi x^{2} +2\pi x\frac{V}{\pi x^{2}}=2(\pi x^{2}+\frac{V}{x}). Найдем производную {S}': {S}'=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}}). Найдем стационарные точки: {S}'=2(2\pi x-\frac{V}{x^{2}})=0 \Rightarrow {S}' =\frac{2\pi x^{3}-V}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}. Получим: \frac{x}{h}=\frac{x}{\frac{V}{\pi x^{2}}}=\frac{\pi x^{3}}{V}=\frac{\pi \frac{V}{2\pi }}{V}=\frac{1}{2} \Rightarrow h=2x.

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *