Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. S=S(t) — путь пройденый точкой за время t от начала движения. Путь пройденный точкой за время от t до t+\Delta t = S(t+\Delta t) - S(t) .
    graph2
    Средняя скорость: V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}
    Если движение точки — равномерное, то V_{cp} — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то V_{cp} не меняется при изменении \Delta t .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент t: V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t} .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция f определена в \delta-окрестности точки x_0 и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: M_0 (x_0;y_0) и M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x)) .
    Уравнение прямой, проходящей через точки M и M_0 имеет вид y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0), где \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0), \Delta x=x-x_0.
    \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha
    Эту прямую называют секущей, а число k=\tan \alphaугловым коэффициентом секущей.
    \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением y=f(x) в точке x_0 называют предельное положение секущей при \Delta x \to 0.
    Если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}, то прямая, проходящая через точку M_0 с угловым коэффициентом k_0 называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x_0 .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Задачи, которые приводят к понятию производной: 4 комментария

  1. Пожалуйста, уберите вопрос «Сколько балов Вы хотите получить за этот вопрос?».
    Сначала нужно стать доцентом или профессором. Только потом Вам начнут прощать маленькие чудачества. Пока снимаю 5 баллов за чувство юмора.

  2. Thank you for writing this tremendous top quality article. The information in this material confirms my point of view and you really laid it out well. I could never have written an article this good.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *