Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. $latex S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $latex t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $latex t$ до $latex t+\Delta t =$ $latex S(t+\Delta t) — S(t)$ .
    graph2
    Средняя скорость: $latex V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
    Если движение точки — равномерное, то $latex V_{cp}$ — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то $latex V_{cp}$ не меняется при изменении $latex \Delta t$ .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $latex t$: $latex V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция $latex f$ определена в $latex \delta$-окрестности точки $latex x_0$ и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: $latex M_0 (x_0;y_0)$ и $latex M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
    Уравнение прямой, проходящей через точки $latex M$ и $latex M_0$ имеет вид $latex y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$, где $latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, $latex \Delta x=x-x_0$.
    $latex \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
    Эту прямую называют секущей, а число $latex k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
    $latex \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ называют предельное положение секущей при $latex \Delta x \to 0$.
    Если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, то прямая, проходящая через точку $latex M_0$ с угловым коэффициентом $latex k_0$ называется касательной к графику функции $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Задачи, которые приводят к понятию производной: 4 комментария

  1. Пожалуйста, уберите вопрос «Сколько балов Вы хотите получить за этот вопрос?».
    Сначала нужно стать доцентом или профессором. Только потом Вам начнут прощать маленькие чудачества. Пока снимаю 5 баллов за чувство юмора.

    Ответить

  2. Thank you for writing this tremendous top quality article. The information in this material confirms my point of view and you really laid it out well. I could never have written an article this good.

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *