Интегральная теорема о среднем

Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:

  1. f,g \in R[a,b]
  2. \exists\;m,M:\;m\leqslant f(x)\leqslant M\forall\;x\in [a,b]
  3. g(x) не меняет знак на [a,b]

Тогда

\exists\;\mu\in[m,M]:\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu\int_{a}^{b}g(x)dx.

Доказательство показать
Следствие

Если f(x) непрерывна на [a,b], g \in R[a,b] и не меняет знак на [a,b], то \exists\;c\in [a,b]:\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx. В частности, если g(x)=1, то

\exists\;c\in[a,b]:\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).

Доказательство показать
Примеры

1)Найти среднее значение функции y=2x+3, заданной на отрезке [2,5], а также значение аргумента, в котором оно достигается.

Решение показать

2)Доказать неравенство: \frac{1}{10\sqrt{2}}\leqslant\int_{0}^{1}\frac{x^{9}dx}{\sqrt{1+x}}\leqslant\frac{1}{10}

Решение показать
Литература
  • З.М. Лысенко. Конспект лекций по математическому анализу, 1 семестр.: О. 2012
  • Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по математическому анализу. Издание девятое. Стр. 196-198: М. Наука. — 1977, 528 стр.
  • В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 336-341: М. Наука. — 1982, 616 стр.
  • Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Издание седьмое. Стр. 113-115: М. Наука. — 1969, 800 стр.
Смотрите так же на википедии

Тест на тему интегральная теорема о среднем

Таблица лучших: Интегральная теорема о среднем

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Интегральная теорема о среднем: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *