Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции

Если $latex f(x)$ — непрерывна на $latex [a,b]$, то $latex f$ имеет первообразную на $latex [a,b]$, причем

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(t)dt+C$.

Спойлер

$latex \square$ Пусть  $latex f(x)$ непрерывна для $latex x\in [a,b]$, тогда по теореме о диффиренцировании интеграла с переменным верхним пределом, получим

$latex {F}'(x)=\frac{d}{dx}\left(\int\limits_{a}^{x}f(t)dt\right)=f(x)$.

Согласно определению первообразной, $latex F(x)=\int\limits_{a}^{b}f(t)dt$ — первообразная для $latex f$ на $latex [a,b]$ и по этому

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(x)+C$.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Следствие

Общий вид первообразной для непрерывной функции

Литература
  • З.М. Лысенко. Конспект лекций по математическому анализу, 1 семестр.: О. 2012
  • В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. М. Наука. — 1982, Стр. 341-342
  • Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Издание седьмое. М. Наука. — 1969, Стр. 115-117
Смотрите так же

Тест на тему теорема о существовании первообразной у непрерывной функции, общий вид первообразной для непрерывной функции.

Таблица лучших: Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции, общий вид первообразной для непрерывной функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Теорема о существовании первообразной у непрерывной функции: 1 комментарий

  1. Исправьте пожалуйста название на страничке матанализа. Там слово «первообразной» заменено на другое. Просто опечатка.
    Не семантические элементы типа центровки текста — табу.
    Все кроме тестов «да-нет» понравилось. С ними прямо какой-то тест Миллера-Рабина получается.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *