Вступление в теорию действительных чисел

Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}..., где a_{0} — целое неотрицательное число, а a_{i} — десятичные знаки (0,1,2,3,4,...,9) назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит +, то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают \mathbb{R} .

Если дробь \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}... является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: x^{2}=2

x=\pm\sqrt{2}=1,41421...

x — иррациональное число.

\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{R}-\mathbb{Q} — множество иррациональных чисел.

27

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть \alpha и \beta — неотрицательные вещественные числа.

\alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}... ;   \beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}... ;

\alpha = \beta \Leftrightarrow a_{k}=b_{k} , k=0,1,2,...

\alpha < \beta , либо когда a_{0} < b_{0} , либо если a_{0} = b_{0} и \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},...,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n} .

2. Пусть \alpha — неотрицательное и \beta — отрицательное, тогда \alpha > \beta .

3. Пусть \alpha и \beta — отрицательные, тогда

\alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |;

\alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |,

где \left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}... \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...; \left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}... \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}...

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots

Обрывая эту дробь на n-ном знаке после запятой получим рациональное число:
{a}'=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для \forall n \in \mathbb{R}:
a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) < \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}< a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}
Это неравенство значит, что число a заключено между рациональными числами, разность между которыми равна  \frac{1}{10^{n}}.

svg22

\frac{1}{10^{n}}<\varepsilon;  \varepsilon- фиксируемое  \Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}  \Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow  n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.

Возьмём, например   \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}.

Получаем   n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3.

Вывод: для любого вещественного вещественного числа a и для любой наперёд заданной точности \varepsilon  существуют \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}  такие, что  \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.    \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon.

Лемма

Если \alpha и \beta — вещественные числа. \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta ), то \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta.
\square 1) Если \alpha и \beta — рациональные, то r=\frac{\alpha +\beta }{2}.
1) Если одно из чисел \alpha и \beta иррациональное.
Допустим \beta — иррациональное, тогда \beta — бесконечная непереодическая дробь. Допустим \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0 (так как \alpha < \beta ), тогда существует номер p, такой что a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},...,a_{p-1}=b_{p-1},   a_{p}<b_{p}.
Так как \beta — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом "0". Поэтому существует номер больше p. Например p+n, такой что b_{p+n}>0.
Имеем r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{p-1}b_{p}...b_{p+n-1}(0).
Получили число r, такое что \alpha<r<\beta.  \blacksquare

Аксиомы действительных чисел

Множеством \mathbb{R} называется множество, на котором выполняются следующие условия:

1) Во множестве \mathbb{R} определена операция «сложение»: \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}
 a. a+b=b+a (сложение коммутативно);
 b. (a+b)+c=a+(b+c) (сложение ассоциативно);
 с. \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a (наличие нейтрального элемента);
 d. \forall a\in\mathbb{R}   \exists "-a":a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента).
Число a+(-b) называется разностью чисел a и b и обозначаются a-b.

2) В \mathbb{R} определена операция «умножение»: \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}
а. ab=ba (коммутативность умножения);
b. a(bc)=(ab)c (ассоциативность умножения);
с. \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a (наличие нейтрального элемента);
d. \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1 (наличие противоположного элемента).
a*b^{-1}частное деление a на b и обозначается   \frac{a}{b}  или  a:b.

3) Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
\forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac.
4) \forall a\in \mathbb{R}: a<0 либо a=0, либо a>0.

При этом, если a>0 и  b>0 \Rightarrow  a+b>0,   ab>0.

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если a-b>0, то пишут a>b;

Если a-b<0, то пишут a<b;

Если a-b=0, то пишут a=b.

Для множеств:
Для A,B \subset \mathbb{R}
Запись A \leq B  означает, что  \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b.
Если  A= \left \{a \right \} (множество из одного элемента)  и  A \leq B,  то  a \leq B.
Непрерывность множества \mathbb{R} заключается в том, что в \mathbb{R}  нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

\forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ): a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} : a \leq c \leq b.
Неравенство Бернулли
Пусть x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}. Тогда
\left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при n \in \mathbb{N}. Докажем его справедливость при n+1 \in \mathbb{N}. Действительно:

\left ( 1+x \right )^{n+1}= \left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right );

\left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )= 1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x.

Что и требовалось доказать. \blacksquare

Вступление в теорию действительных чисел

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Вступление в теорию действительных чисел

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

  1. З.М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.2.
  3. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).

Подробнее о вещественных числах на:

Wikipedia

matica.org.ua

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *