Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры

Ранее мы уже доказали, что для любой интегрируемой на $latex [a,b] $ функции $latex f $ интеграл с переменным верхним пределом – непрерывная на $latex [a,b] $ функция.

Теорема. Пусть функция $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $ и непрерывна в точке $latex x_{0} \in [a,b]. $ Тогда функция $latex F $ дифференцируема в точке $latex x_{0} $ и $latex F'(x_{0})=f(x_{0}). $

Доказательство.

Спойлер

Пусть, например, $latex a<x_{0}<b $ (в точках $latex a $ и $latex b $ можно рассматривать только односторонние производные). Тогда для любого $latex h \neq 0 $, такого, что $latex x_{0} + h \in [a,b] $, имеем

$latex \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} = \frac{1}{h} ( \int_{a}^{x_{0}+h} f(t)dt — \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt ) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt.$

Отсюда следует

$latex | \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} — f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt — f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} [f(t)-f(x_{0})]dt | \leq \frac{1}{|h|} | \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} | f(t)-f(x_{0}) | dt | \equiv \rho (h). $

Если мы покажем, что $latex \rho(h) \rightarrow 0 $ при $latex h \rightarrow 0 $, то тем самым теорема будет доказана. Для оценки $latex \rho(h) $ предположим для определенности, что $latex h>0$. Зададим произвольное $latex \varepsilon > 0 $ и, пользуясь непрерывностью функции $latex f $ в точке $latex x_{0} $, найдем такое $latex \delta > 0 $, что для всех $latex t $, удовлетворяющих условию $latex |t — x_{0}| < \delta $, справедливо неравенство $latex |f(t)-f(x_{0})| < \varepsilon $. Если теперь $latex 0<h<\delta$, то получим

$latex \rho(h) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} |f(t) — f(x_{0})|dt \leq \varepsilon $

Отсюда следует, что $latex \rho(h) \rightarrow 0 $ при $latex h \rightarrow 0 $.

Случай $latex h<0 $ исчерпывается аналогичным образом. В точках $latex x_{0} = a $ и $latex x_{0} = b $ приведенные выше рассуждения достаточно применить для $latex h>0 $ и $latex h<0 $, соответственно. $latex \blacksquare $

[свернуть]

Замечание.

Спойлер

Условие непрерывности функции $latex f $ в точке $latex x_{0} $ не является необходимым для дифференцируемости $latex F $ в точке $latex x_{0} $. Например, если взять непрерывную на отрезке $latex [a,b] $ функцию $latex f $, то, по доказанной теореме, функция $latex F $ будет дифференцируемой в каждой точке отрезка $latex [a,b]. $ Изменим теперь значение функции $latex f $ в одной точке. В результате получим разрывную функцию $latex f $. В то же время, как легко видеть, функция $latex F $ останется прежней, т.е. $latex \bar{F}(x) \equiv \int_{a}^{x} \bar{f}(t)dt = F(x) (x \in [a,b])$ (поскольку изменение функции в конечном числе точек не влияет на величину ее интеграла). Таким образом, получим, что интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции может оказаться дифференцируемым.

[свернуть]

Пример 1.

Спойлер

Рассмотрим функцию

$latex f(x) =

\begin{cases}
& \sin{\frac{1}{x}}, 0<x\leq 1, \\
& 0 , x=0.
\end{cases} $

Эта функция ограничена на отрезке $latex [0,1] $ и имеет единственную точку разрыва $latex x_{0} = 0 $. Значит, она интегрируема на $latex [0,1] $. Обозначим $latex F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt $. Поскольку $latex f $ непрерывна в каждой точке $latex x \neq 0 $, то, по предыдущей теореме, функция F дифференцируема в каждой точке $latex x \in (0,1] $ и $latex F'(x) = \sin{\frac{1}{x}}$. В точке $latex x_{0}=0 $ функция $latex f $ разрывна и поэтому предыдущая теорема неприменима. Однако можно показать, что существует $latex F’+(0) = 0 $.

[свернуть]

Пример 2.

Спойлер

Пусть $latex f(x) = \text{sign } x, -1 \leq x \leq 1. $ Если $latex -1 \leq x < 0 $, то $latex f(t) = -1, -1 \leq t \leq x $ и $latex \int_{-1}^{x} f(t)dt = -(x-(-1)) = -(x+1)$.

Если же $latex 0 \leq x \leq 1, $ то $latex \int_{-1}^{x} f(t)dt = \int_{-1}^{0} f(t)dt + \int_{0}^{x} f(t)dt = -1+x$.

Таким образом,

$latex F(x) =

\begin{cases}
& -(x+1), -1 \leq x < 0, \\
& x-1, 0 \leq x \leq 1.
\end{cases}$

Легко видеть, что в точке $latex x_{0} = 0 $ функция $latex F $ недифференцируема.

[свернуть]

Литература :

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры: 1 комментарий

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *