Единственность полинома Тейлора

Теорема о единственности полинома Тейлора

  Если существует f^{(n)}(x_{0}) и при x\rightarrow x_{0} f представима в виде f(x)=a_{0}+  a_{1}(x-x_{0})+...  +a_{n}(x-x_{0})^{n}+   O((x-x_{0})^{n}), то многочлен A=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+...  +a_{n}(x-x_{0})^{n} и будет многочленом Тейлора в точке x_{0}, то есть a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}.

Доказательство.

f(x)=f(x_{0})+ \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+... +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+ O((x-x_{0})^{n})  .

Приравниваем:

f(x_{0})+ \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+... +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+ O((x-x_{0})^{n})= a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+... +a_{n}(x-x_{0})^{n}+ O((x-x_{0})^{n})  .

Берем предел обеих частей при x\rightarrow x_{0} . Получаем, что:

\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})\rightarrow 0  ;

\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0  ;

O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0  ;

a_{1}(x-x_{0})\rightarrow 0  ;

a_{n}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0  ;

O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0  ;

f(x_{0})=a_{0}  .

Отбрасываем первые слагаемые в обеих частях уравнения:

 \cfrac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+...+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+O((x-x_{0})^{n})= a_{1}(x-x_{0})+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+O((x-x_{0})^{n})\mid /(x-x_{0}) .

 \cfrac{f'(x_{0})}{1!}+...+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n-1}+O((x-x_{0})^{n-1})=a_{1}+a_{2}(x-x_{0})+...+a_{n}(x-x_{0})^{n-1}+O((x-x_{0})^{n-1})\mid \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(\cdot )  .

Получаем:

\cfrac{f'(x_{0})}{1!}=a_{1}  .

Проделываем те же действия, что и ранее, получаем:

a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}  .

Следовательно разложение по формуле Тейлора однозначно.

Замечание:

Пусть f(x) — бесконечно дифференцируема в точке 0.

  1. Если функция f(x)четная, то f' — нечетная, f''' — нечетная, …, f^{(2n+1)} — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то f'(0)=f'''(0)=...  =f^{(2n+1)}(0)=0.
  2. Если функция f(x)нечетная, то f'' — нечетная, …, f^{(2n)} — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то f''(0)=...= f^{(2n)}(0)=0.

Вывод:

Если f(x) — четная, то формула Тейлора будет для нее содержать только четные степени, если f(x) — нечетная, то формула Тейлора будет разлагаться только по нечетным степеням.

Источники:

Тест по теме: единственность полинома Тейлора

Проверьте себя на знание теоретического материала по теме: единственность полинома Тейлора.


Таблица лучших: Тест по теме: единственность полинома Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *