Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана


Задача 1. (О вычислении пути)


Условие. Предположим, что f(x) — скорость движения материальной точки по оси OY и f(x)>0. Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от x=a до x=b.

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от a до b на малые промежутки  (рис.3)  $$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, f(x_{k}). Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1} приближенно равен f(x_{k})\triangle x_{k}. Следовательно, путь пройденный от a до b приближенно равен:

{S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+...+f(x_{n})\triangle x_{n}}.                                                (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

{S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+...+f(x_{n})\triangle x_{n}}.                                       (2)


Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)


В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от x=a до x=b, перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции f(x)  в пределах от a до b и обозначается: $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$

Рассмотрим рис.1 рисунок-1   Сумма вида (1) равна сумме  площадей прямоугольников с основаниями \triangle x_{k}  и высотами f( x_{k}). Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков \triangle x_{k} площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

{S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+...+f(x_{n})\triangle x_{n}} , где  \lambda = \max \triangle x_{k}

и S -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

 S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n} =\int_{a}^{b}f(x)dx                                                                 (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь S, заключенную между графиком функции y=\sin x на отрезке от 0 до \pi и осью OX (рис. 2)

рисунок-3

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: $${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$$

Так как одной из первообразных функции f(x)=\sin x является функция \Phi (x)=-\cos x, то по формуле Ньютона -Лейбница получим: $$ S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$$


Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)


Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3). default2
\rho =\rho\ (x)
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
m=\rho (b-a), \rho =const
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b
\forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i} , где \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1} i=\overline{1,n}
Масса каждого отрезка : m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i} \Rightarrow масса всего стержня равна пределу суммы {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}, которые называются интегральными суммами


 

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 243-258
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

  1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
  2. Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
  3. Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *