Ограниченность интегрируемой по Риману функции

                                                      

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция f(x) — интегрируема на \left [ a;b \right ], то она ограничена на \left [ a;b \right ].

Доказательство

\square  Пусть f\in \mathbb{R}\left [ a;b \right ].Тогда,по определению: \forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\forall Tразбиения: как только\lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma _{T} \right(\xi ,f)-I |< \varepsilon , где  T =\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n} — разбиение \left [ a;b \right ]\lambda =max\left \{ \triangle x_{i} \right \} — ранг разбиения\triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}; \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n} — набор промежуточных точек, \xi_{i}\in \bigtriangleup _{i},i=\overline{1,n}.

Выберем \varepsilon =1( так как \varepsilon — любое положительное) и обозначим интегральную сумму \sigma _{T}(\xi ,f) через \sigma. Тогда \exists \delta > 0: \forall T : \lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma -I \right |< 1\Leftrightarrow I-1< \sigma < I+1.

Предположим, что  f(x) не ограничена на \left [ a;b \right ], и зафиксируем разбиение T этого отрезка. В силу неограниченности функции  f(x) на всём отрезке \left [ a;b \right ] она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков \triangle _{i}=[x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}. Пусть для определённости это будет \triangle _{1}=[x_{0};x_{1}]=[a;x_{1}]. Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с \xi _{2} (т.е. \xi _{i}\in\triangle _{i},i=\overline{2,n}).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}

I-1<\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\underset{A}{\underbrace{\sum_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}}}<I+1 , где A — некоторое число.

I-1-A<f(\xi _{i})\triangle x_{1}<I+1-A      Разделим полученное неравенство на \triangle x_{1}

\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I-1-A}}<f(\xi _{1})<\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I+1-A}}

А это означает, что f — ограничена на \triangle _{1}, что противоречит предположению. Следовательно, функция  f ограничена на \left [ a;b \right ]\blacksquare


Замечание

Ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману


Практическое применение

Для существования определенного интеграла от некоторой функции f(x) последняя,помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими её интегрируемость. Поэтому данная теорема является вспомогательной( например, для критерия интегрируемости). Таким образом её практическое применение сводится к облегчению доказательств более сложных теорем.


Литература:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Определенный интеграл»
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.:Высш.школа,1981,т.I — 687с.(с 442-443)
  • Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс — 9-е изд. — М.:Айрис-пресс,2009.- 608 с.( с 259-260)

Смотрите дополнительно:

 

 

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Небольшой тест по данной теме

Таблица лучших: Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Ограниченность интегрируемой по Риману функции: 2 комментария

  1. Что это за ссылка такая http://ru.wikipedia.org? Еще можно написать Интернет. Ссылаются на конкретную статью с названием и адресом, а не пальцем в небо. Ставлю жирный страшный минус за такое.
    Уберите со странички стили. Цитату нужно оформить как цитату, а не 4 абзаца по три слова.

    1. Спасибо,убрала ссылку на википедию, выписала полностью литературу.Убрала стили и добавила термины.К сожалению, к этой теме не нашла определенных примеров((, но добавила абзац с объяснением, где встречается.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *