Ограниченность интегрируемой по Риману функции

                                                      

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция [latex]f(x)[/latex] — интегрируема на [latex]\left [ a;b \right ][/latex], то она ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex].

Доказательство

[latex]\square [/latex]  Пусть [latex]f\in \mathbb{R}\left [ a;b \right ][/latex].Тогда,по определению: [latex]\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\forall T[/latex] — разбиения: как только[latex]\lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma _{T} \right(\xi ,f)-I |< \varepsilon [/latex], где  [latex]T =\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] — разбиение [latex]\left [ a;b \right ][/latex]; [latex]\lambda [/latex]=max[latex]\left \{ \triangle x_{i} \right \}[/latex] — ранг разбиения; [latex]\triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}[/latex]; [latex]\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}[/latex] — набор промежуточных точек, [latex]\xi_{i}\in \bigtriangleup _{i},i=\overline{1,n}[/latex].

Выберем [latex]\varepsilon =1[/latex]( так как [latex]\varepsilon [/latex] — любое положительное) и обозначим интегральную сумму [latex]\sigma _{T}(\xi ,f)[/latex] через [latex]\sigma[/latex]. Тогда [latex]\exists \delta > 0: \forall T : \lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma -I \right |< 1\Leftrightarrow I-1< \sigma < I+1[/latex].

Предположим, что  [latex]f(x)[/latex] не ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex], и зафиксируем разбиение [latex]T[/latex] этого отрезка. В силу неограниченности функции  [latex]f(x)[/latex] на всём отрезке [latex]\left [ a;b \right ][/latex] она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков [latex]\triangle _{i}=[x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}[/latex]. Пусть для определённости это будет [latex]\triangle _{1}=[x_{0};x_{1}]=[a;x_{1}][/latex]. Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с [latex]\xi _{2}[/latex] (т.е. [latex]\xi _{i}\in\triangle _{i},i=\overline{2,n}[/latex]).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

[latex]\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}[/latex]

[latex]I-1<\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\underset{A}{\underbrace{\sum_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}}}<I+1[/latex] , где A — некоторое число.

[latex]I-1-A<f(\xi _{i})\triangle x_{1}<I+1-A[/latex]      Разделим полученное неравенство на [latex]\triangle x_{1}[/latex]

[latex]\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I-1-A}}<f(\xi _{1})<\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I+1-A}}[/latex]

А это означает, что [latex]f[/latex] — ограничена на [latex]\triangle _{1}[/latex], что противоречит предположению. Следовательно, функция  [latex]f[/latex] ограничена на [latex]\left [ a;b \right ][/latex]. [latex]\blacksquare [/latex]


Замечание

Ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману


Практическое применение

Для существования определенного интеграла от некоторой функции [latex]f(x)[/latex] последняя,помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими её интегрируемость. Поэтому данная теорема является вспомогательной( например, для критерия интегрируемости). Таким образом её практическое применение сводится к облегчению доказательств более сложных теорем.


Литература:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Определенный интеграл»
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.:Высш.школа,1981,т.I — 687с.(с 442-443)
  • Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс — 9-е изд. — М.:Айрис-пресс,2009.- 608 с.( с 259-260)

Смотрите дополнительно:

 

 

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Небольшой тест по данной теме

Таблица лучших: Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Ограниченность интегрируемой по Риману функции: 2 комментария

  1. Что это за ссылка такая http://ru.wikipedia.org? Еще можно написать Интернет. Ссылаются на конкретную статью с названием и адресом, а не пальцем в небо. Ставлю жирный страшный минус за такое.
    Уберите со странички стили. Цитату нужно оформить как цитату, а не 4 абзаца по три слова.

    1. Спасибо,убрала ссылку на википедию, выписала полностью литературу.Убрала стили и добавила термины.К сожалению, к этой теме не нашла определенных примеров((, но добавила абзац с объяснением, где встречается.

Добавить комментарий для Екатерина Шибаева Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *