Локальная формула Тейлора.
Если функция определена в некоторой окрестности
т.
и имеет в этой окрестности производные
до
-го порядка включительно и в т.
существует производная n-го порядка
, то
, (1)
где
В частности, при имеем:
(2)
При указанных условиях представление (1) единственно.
Если в т. существует производная
, то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде
.
Из локальной формулы Тейлора (2) Получаем следующие 5 важных разложений:
I.
V.
Формула Тейлора.
Если функция определена на сегменте
и имеет на этом сегменте непрерывные производные
, при
существует конечная производная
, то
, где
(остаточный член в форме Лагранжа), или
(остаточный член в форме Коши)
(формула Тейлора для многочлена по степеням ).
Замечание
(ф-ла Тейлора для многчлена по степеням
Частный случай формулы Тейлора при называется формулой Маклорена.
Пусть функции f и g в т. такие, что:
Следует ожидать, что функции f и g в окрестности т. похожи (графиками). И тогда функцию f локально можно заменить на g.
Нас будет интересовать g(x) как многочлен. Т.е.
Итак, многочлен
Многочлен Тейлора функции f в т. порядка n.
Пример.
Разложить многочлен по степеням
.
Решение: Здесь
Поэтому Следовательно,
т.е.
Список литературы:
1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)
2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1972, стр.138-139.
3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.