Определение многочлена Тейлора

1^{\circ}. Локальная формула Тейлора.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности \mid x-x_{0}\mid<\varepsilon т.x_{0} и имеет в этой окрестности производные f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x) до (n-1)-го порядка включительно и в т.x_{0} существует производная n-го порядка f^{(n)}(x_{0}), то
f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}(x-x_{0})^{k}+o(x-x_{0})^{n},       (1)

где a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!},(k=0,1,\cdots,n).

В частности, при x_{0}=0 имеем:

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}x^{k}+o(x^n).     (2)

При указанных условиях представление (1) единственно.

Если в т.x_{0} существует производная f^{(n+1)}(x_{0}), то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде o((x-x_{0})^{n+1}).

Из локальной формулы Тейлора (2) Получаем следующие 5 важных разложений:

I. e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})

exp
II. sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})

sin
III. cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})

cos
IV. (1+x)^{m}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n)!}x^{n}+o(x^{n})

V. ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})

ln

2^{\circ}.Формула Тейлора.

Если функция f(x) определена на сегменте \left [ a,b \right ] и имеет на этом сегменте непрерывные производные f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x), приa<x<b существует конечная производная f^{(n)}(x), то

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+r_{n}(x)   (a\leq x\leq b),, где

r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(r-a)^{n}     (a<\theta<b),

(остаточный член в форме Лагранжа), или

r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta_{1}(x-a))}{(n-1)!}(1-\theta_{1})^{n-1}(x-a)^{n}     (a<\theta_{1}<b),

(остаточный член в форме Коши)

 

P(x)=a_{0}+a_{1}\ast x+a_{2}\ast x^{2}+a_{3}\ast x^{3}+a_{4}\ast x^{4}+\cdots +a_{n-1}\ast x^{n-1}+a_{n}\ast x^{n} {P}'(x)=a_{1}+2a_{2}\ast x +3a_{3}\ast x^{2}+ 4a_{4}\ast x^{3}+\cdots +(n-1)a_{n-1}\ast x^{n-2}+ na_{n}\ast x^{n-1} {P}''(x)=2a_{2}+6a_{3}\ast x +12a_{4}\ast x^{2}+ \cdots +(n-1)(n-2)a_{n-1}\ast x^{n-3}+ (n-1) na_{n}\ast x^{n-2} P^{(3)}(x)=6a_{3} + 24a_{4}*x + \cdots + (n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}*x^{n-4}+ (n-1)* *(n-2)na_{n}*x^{n-3} \cdots P^{(n-1)}(x)=(n-1)!*a_{n-1}+ n!a_{n}*x P^{(n)}(x)=n!a_{n} \left. \begin{array}{l}P(0) = {a_0}\\P'(0) = {a_1}\\P''(0) = 2!*{a_2}\\{P^{(3)}}(0) = 3!*{a_3}\\\cdots \\{P^{(n - 1)}}(0) = (n - 1)!*{a_{n - 1}}\\{P^{(n)}}(0) = n!*{a_n}\end{array} \right\} \Leftrightarrow \left.\begin{array}{l}{a_0} = {P_0}\\{a_1} = \frac{{P'(0)}}{{1!}}\\{a_2} = \frac{{P''(0)}}{{2!}}\\{a_3} =\frac{{{P^{(3)}}(0)}}{{3!}}\\\cdots \\{a_{n - 1}} = \frac{{{P^{(n - 1)}}(0)}}{{n - 1!}}\\{a_n} = \frac{{{P^{(n)}}(0)}}{{n!}}\end{array} \right\} P(x)=P(0)+\frac{{P}'(0)}{1!}x+ \frac{{P}''(0)}{2!}x^{2}+ \frac{P^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{P^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\cdots + \frac{P^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}++ \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^{n}

(формула Тейлора для многочлена по степеням x).

Замечание

P(x)=A_{0}+A_{1}(x-x_{0})+A_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots +A_{n}(x-x_{0})^{n} A_{k}=\frac{P^{(k)}(x_{0})}{k!}\Rightarrow P(x)=P(x_{0})+\frac{{P}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{{P}''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}

(ф-ла Тейлора для многчлена по степеням (x-x_{0}))

 

Частный случай формулы Тейлора при x_{0}=0 называется формулой Маклорена.

 

Пусть функции f и g в т. x_{0} такие, что:
f(x_{0})=g(x_{0})
{f}'(x_{0})={g}'(x_{0})
{f}''(x_{0})={g}''(x_{0})
\cdots
f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})
Следует ожидать, что функции f и g в окрестности т.x_{0} похожи (графиками). И тогда функцию f локально можно заменить на g.

Нас будет интересовать g(x) как многочлен. Т.е. g(x)=P_{n}(x_{0},x)=\overbrace{c_{0}}^{f(x_{0})}+\overbrace{c_{1}}^\frac{{f'(x_{0})}}{1!}(x-x_{0})+\cdots +\overbrace{c_{n}}^\frac{{f^{(n)}(x_{0})}}{n!}(x-x_{0})^{n}
f(x)\approx g(x)
f(x_{0})=P_{n}(x_{0},x)
{f}'(x_{0})={P}_{n}'(x_{0},x)
\cdots
f^{(n)}(x_{0})=P_{n}^{(n)}(x_{0},x)

Итак, многочлен P_{n}(x,x_{0})=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
Многочлен Тейлора функции f в т.x_{0} порядка n.

 

Пример.

Разложить многочлен P(x)=-4x^{3}+3x^{2}-2x+1 по степеням x+1.

Решение: Здесь x_{0}=-1, P'(x)=-12x^{2}+6x-2, P''(x)=-24x+6, P^{(3)}(x)=-24.

Поэтому P(-1)=10, P'(-1)=-20, P''(-1)=30, P^{(3)}(-1)=-24. Следовательно,

P(x)=10+\frac{-20}{1!}(x+1)+\frac{30}{2!}(x+1)^{2}+\frac{-24}{3!}(x+1)^{3},

т.е. -4x^{3}+3x^{2}-2x+1=10-20(x+1)+15(x+1)^{2}-4(x+1)^{3}.

 

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1972, стр.138-139.

3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *