О приближенном вычислении с помощью формулы Тейлора

Если остаток в формуле Тейлора |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0}  , то формулу Тейлора для многочлена можно записать так:  f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} .

Важна форма записи остаточного члена:

r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}  .

r_{n}(x_{0},x)  — определяет погрешность формулы. Если же f(x)  вычисляется по формуле при конкретном числовом значении x  , то может оказаться, что слагаемые в этой формуле сами вычисляются приближённо. Тогда погрешность результата будет состоять из погрешности слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой точностью \alpha _{0}  (погрешностью формулы), то общая погрешность результата равна (n+2)\alpha _{0}  .

Пусть \alpha  — заранее известная точность результата. Тогда следует преобразовать \alpha _{0}  так, чтобы обеспечить выполнение неравенства   (n+2)\alpha _{0}\leq\alpha  , то есть \alpha_{0}\leq\frac{\alpha}{n+2}  . При достаточно малых n  , например, n\leq8  : \alpha_{0}=\frac{\alpha}{10}\leq\frac{\alpha}{n+2}  .

Обычно точность вычислений \alpha  задается в виде: \alpha=10^{-m} \Rightarrow \alpha_{0}=10^{-(m+1)}  . Это значит, что вычисления нужно проводить с одним запасным знаком. Мы установили, что один запасной знак обеспечит требуемую точность при n\leq8  .

Пример

Вычислить e^{0,1}  с точностью до \alpha=0,001=10^{-3}  .

Решение

Оценкой определим, в какой точке удобнее раскладывать исходную функцию (найдём ближайшую к необходимой точку, где известно точное значение функции):

0\leq0,1\leq0,5 \Rightarrow x\in[0;0,5]

Выпишем формулу Тейлора:

e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+...+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}x^{n+1}  ;

Выполним вычисление по формуле Тейлора, разложив функцию в точке x_{0}=0

Выполним оценку погрешности:

r_{n}(0,x)=\left | \frac{e^{\xi }x^{n+1}}{(n+1)!} \right |=\frac{e^{\xi} \left | x \right |^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{\sqrt{e}x^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{2x^{n+1}}{(n+1)!}

Оценим сверху:

\frac{2x^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{1}{10}

Перенесём 2 в правую часть и выполним обозначение:

\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq 0.5*10^{-1}\alpha=\frac{\alpha}{20}  .

Эта запись удобна тем, что вычисляя последовательность слагаемых U_{k}=\frac{x^{k}}{k!}  мы имеем возможность одновременно видеть достигнута ли требуемая точность.

По условию:

\alpha=10^{-3}

Подставим в оценку, сделанную ранее:

\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq 0,00005

Для U_{k}=\frac{x^{k}}{k!}  полагаем k=0,1,2,...

x=0,1 \Rightarrow U_{0}=1; U_{1}=0,1; U_{2}=0,005;

U_{3}=0,0002; U_{4}=0,00005 — выбранное значение k  подходит.

e^{0,1}\approx 1+0,1+0,005+0,0002+0,00005=1,105

e^{0,1}\approx1,105

Неравенство \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq0,00005  оказалось выполненным при k=n+1=4  , n=3  .

Источники:

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *