Теорема про остаток формулы Тейлора

Получим информацию об остатке.

Теорема (об остатке $r_{n}(x)$ ф-лы Тейлора)

$f(t), {f}'(t), {f}''(t),\cdots , f^{(n)}(t)\in C[x_{0},x]$ и $\exists f^{(n+1)}(t)$ , где $t \in (x_{0},x)$ . Пусть ф-ция $\varphi \in C[x_{0},x]$ и $\exists \varphi'(t) \neq 0$ $\forall t(x_{0},x)$ . Тогда $\exists$ т. $\xi \in (x_{0},x)$ : $r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi (x) -\varphi (x_{0})}{\varphi '(\xi)n!} * \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{1!}*(x-\xi)^{n}$

$\square$
Введем вспомогательную ф-цию $F(t)=f(x)-P_{n}(t,x)$ , т.е. $P_{n}(t,x)=f(t)+\frac{{f}'(t)}{1!}(x-t)+\cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n}$

$F(t)=f(x)-\left [ f(t)+\frac{{f}'(t)}{1!}(x-t)+\frac{{f}''(t)}{2!}(x-t)^{2}+ \frac{f^{(3)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+ \cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n} \right ]$ = $-\left [ f'(t)+ \frac{f''(t)}{1!}(x-t)' +\frac{f^{(3)}(t)}{2!}((x-t)^{2})'+ \frac{f^{(4)}(t)}{3!}((x-t)^{3})' +\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}((x-t)^{n})' \right ]$ = $-\left [ f'(t)+ \frac{f''(t)(x-t)+(x-t)'f'(t)}{1!} \right ]$ = $-\left [ f'(t)+ \frac{f''(t)}{1!}(x-t) +\frac{f'(t)}{1!}(-1)+ \frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^{2}+\frac {f''(t)}{2!}2(x-t)(-1)+\frac {f^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+3(x-t)^{2}(-1)\frac {f^{(3)}(t)}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}+ n(x-t)^{n-1}(-1)\frac {f^{n}(t)}{n!} \right ]$

$F'(t)=-\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}$
К паре ф-ций F(t) и $\varphi (t)$ на $[x_{0},x]$ применим теорему Коши о конечных приращениях $\Rightarrow \exists$ т. $\xi \in (x_{0},x)$ : $\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ ;
$\frac {\overbrace {F(x)}^0-\overbrace{F(x_{0})}^{r_{n}(x_{0},x)}}{\varphi (x) - \varphi (x_{0})}=\frac {F'(\xi)}{\varphi '(\xi)}$ ;

Уточняем!
$F(x)=f(x) - P_{n}(x,x)=0;$
$F(x_{0})=f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x)$ ;
$F'(\xi)=- \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi )^{n}$ ;

Таким образом мы получаем следующую формулу:
$\frac{0-r_{n}(x_{0},x)}{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}= -\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!\varphi(\xi)}(x-\xi)^{n}$ . Отсюда
$r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\varphi'(\xi)n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}$ .
$\blacksquare$

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

Похожее

Добавить комментарий

Поделиться ссылкой:

Похожее

Добавить комментарий Отменить ответ