Условия монотонности функции в терминах производной

Теорема (критерий возрастания и убывания функции на интервале)

Для того чтобы дифференцируемая функция  f(x) на интервале  (a;b) была возрастающая, необходимо и достаточно, чтобы \forall x\in  (a;b)   f'(x)\geq 0 .

Доказательство

Необходимость

  • Дано: f(x) возрастает на интервале (a;b).
  • Требуется доказать:  f'(x)\geq 0.

Пусть x_{0} произвольная точка на интервале  (a;b), пусть x>x_{0} , тогда в силу монотонного возрастания функции  f(x)\geq f(x_{0}) для любого значения  x из интервала  (a;b),  x\neq x_{0} \Rightarrow

 \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0.

По свойству сохранения знака предела:

\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geqslant 0,

а это и есть f'(x_{0}).

Достаточность

  • Дано:  f'(x)\geq 0 .
  • Требуется доказать: f(x) возрастает на интервале(a;b).

Пусть f'(x)\geq 0 \forall x\in  (a;b).
Выберем произвольные точки  x_{1} и  x_{2}, принадлежащие интервалу  (a;b), и не ограничивая общности скажем, что  x_{2}>x_{1}.
Применим к функции f формулу Лагранжа о конечных приращениях:
 f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})\geq 0. Из того что  x_{2}>x_{1} => f(x_{2})\geq f(x_{1}) =>
Доказали нестрогое возрастание.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

    1. \forall x\in (a;b)  f'(x)>0 \Rightarrow f строго возрастает на  (a;b).
    2. \forall x\in (a;b)  f'(x)<0 \Rightarrow f строго убывает на  (a;b).

Доказательство

Пусть  x_{2}>x_{1} , применим формулу конечных приращений Лагранжа: f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})>0, так как x_{2}>x_{1} и f'(\xi)>0, то f(x_{2})<f(x_{1}).
Пусть  x_{2}<x_{1} , применим формулу конечных приращений Лагранжа: f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)*(x_{1}-x_{2})>0, так как x_{2}<x_{1} и f'(\xi)>0, то f(x_{2})<f(x_{1}).

Пример

Исследовать функцию f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5 на возрастание и убывание.

Решение

  1. Функция f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5 дифференцируема на R, f'(x)=3x^{2}-6x-9.
  2. Для определения промежутков возрастания и убывания функции решаем уравнение: x^{2}-2x-3=0. Решениями уравнения являются точки: x=-1 и x=3, которые разбивают числовую прямую на три отрезка. Получаем:

    E-okr0

    x^{2}-2x-3>0 \Leftrightarrow x\in ( -\infty ;-1) \cup (3;+\infty)\Rightarrow f(x) возрастает на отрезках  x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)
    x^{2}-2x-3<0\Leftrightarrow x\in \left ( -1;3 \right )\Rightarrow f(x) убывает на отрезке x\in [-1 ;3].

  3. Выполним проверку
    Для проверки построим график этой функции.

    график

    Ответ:

    f(x) возрастает на отрезках  x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty).
    f(x) убывает на отрезке x\in \left [ -1 ;3\right ].

  4. Источники:

    Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

    Проверьте себя на знание теоретического и практического материала по теме: Условия монотонности функции в терминах производной.


    Таблица лучших: Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

    максимум из 8 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

Условия монотонности функции в терминах производной: 1 комментарий

  1. Точно h1,… h6 недостаточно и нужны индивидуальные стили? Представьте все страницы в учебнике одинаковые, а на одной заголовки зелененькие. Читатель же начнет в этом смысл искать. А смысла-то и нету…
    Не нужно подчеркивать заголовки — их будут путать с гиперссылками. Это как нарисованный очаг в каморке папы Карло — не греет, а только вводит в заблуждение.
    Нет такого слова «Теорема(критерий». Может быть где-то пропущен пробел?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *