Вступление в теорию действительных чисел

Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$, где $latex a_{0} $ — целое неотрицательное число, а $latex a_{i} $ — десятичные знаки $latex (0,1,2,3,4,…,9) $ назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит $latex +$, то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $latex \mathbb{R} $.

Если дробь $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: $latex x^{2}=2 $

$latex x=\pm\sqrt{2}=1,41421… $

$latex x$ — иррациональное число.

$latex \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} $

$latex \mathbb{R}-\mathbb{Q} $ — множество иррациональных чисел.

27

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — неотрицательные вещественные числа.

$latex \alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… $;   $latex \beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… $;

$latex \alpha = \beta $ $latex \Leftrightarrow$ $latex a_{k}=b_{k} $, $latex k=0,1,2,… $

$latex \alpha < \beta $, либо когда $latex a_{0} < b_{0} $, либо если $latex a_{0} = b_{0}$ и $latex \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n} $.

2. Пусть $latex \alpha$ — неотрицательное и $latex \beta $ — отрицательное, тогда $latex \alpha > \beta $.

3. Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — отрицательные, тогда

$latex \alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |$;

$latex \alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |$,

где $latex \left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$; $latex \left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число $latex a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$

Обрывая эту дробь на $latex n$-ном знаке после запятой получим рациональное число:
$latex {a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $latex \forall n \in \mathbb{R}:$
$latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $latex \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $latex a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна  $latex \frac{1}{10^{n}}$.

svg22

$latex \frac{1}{10^{n}}<\varepsilon$;  $latex \varepsilon-$ фиксируемое  $latex \Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}$  $latex \Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow$  $latex n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.$

Возьмём, например   $latex \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$.

Получаем   $latex n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$.

Вывод: для любого вещественного вещественного числа $latex a$ и для любой наперёд заданной точности $latex \varepsilon$  существуют $latex \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$  такие, что  $latex \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$    $latex \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$.

Лемма

Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — вещественные числа. $latex \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$, то $latex \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$.
$latex \square$ $latex 1) $ Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — рациональные, то $latex r=\frac{\alpha +\beta }{2}$.
$latex 1) $ Если одно из чисел $latex \alpha$ и $latex \beta $ иррациональное.
Допустим $latex \beta $ — иррациональное, тогда $latex \beta $ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $latex \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $latex \alpha < \beta $), тогда существует номер $latex p$, такой что $latex a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$,   $latex a_{p}<b_{p}$.
Так как $latex \beta $ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $latex «0»$. Поэтому существует номер больше $latex p$. Например $latex p+n$, такой что $latex b_{p+n}>0$.
Имеем $latex r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$.
Получили число $latex r$, такое что $latex \alpha<r<\beta$.  $latex \blacksquare$

Аксиомы действительных чисел

Множеством $latex \mathbb{R} $ называется множество, на котором выполняются следующие условия:

$latex 1)$ Во множестве $latex \mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$
 a. $latex a+b=b+a$ (сложение коммутативно);
 b. $latex (a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно);
 с. $latex \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента);
 d. $latex \forall a\in\mathbb{R}$   $latex \exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $latex a+(-b)$ называется разностью чисел $latex a$ и $latex b$ и обозначаются $latex a-b$.

$latex 2)$ В $latex \mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$
а. $latex ab=ba$ (коммутативность умножения);
b. $latex a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
с. $latex \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $latex \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$latex a*b^{-1}$ — частное деление $latex a$ на $latex b$ и обозначается   $latex \frac{a}{b}$  или  $latex a:b$.

$latex 3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$latex \forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$.
$latex 4)$ $latex \forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $latex a=0$, либо $latex a>0$.

При этом, если $latex a>0$ и  $latex b>0$ $latex \Rightarrow$  $latex a+b>0$,   $latex ab>0$.

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если $latex a-b>0$, то пишут $latex a>b$;

Если $latex a-b<0$, то пишут $latex a<b$;

Если $latex a-b=0$, то пишут $latex a=b$.

Для множеств:
Для $latex A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $latex A \leq B$  означает, что  $latex \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$.
Если  $latex A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента)  и  $latex A \leq B$,  то  $latex a \leq B$.
Непрерывность множества $latex \mathbb{R}$ заключается в том, что в $latex \mathbb{R}$  нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

$latex \forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $latex a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $latex a \leq c \leq b$.
Неравенство Бернулли
Пусть $latex x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$. Тогда
$latex \left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $latex n \in \mathbb{N}$. Докажем его справедливость при $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Действительно:

$latex \left ( 1+x \right )^{n+1}=$ $latex \left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )$;

$latex \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )=$ $latex 1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x$.

Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Вступление в теорию действительных чисел

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Вступление в теорию действительных чисел

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

  1. З.М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.2.
  3. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).

Подробнее о вещественных числах на:

Wikipedia

matica.org.ua

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *