Теорема. Пусть $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $. Тогда функция $latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b] $ непрерывна на $latex [a,b] $.
Доказательство.
Пусть $latex x_{0}, x_{0} + \Delta x \in [a,b]$. Тогда
$latex F(x_{0}+ \Delta x) — F(x_{0}) = \int_{a}^{x_{0}+\Delta x} f(t)dt — \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt = \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt $
Функция $latex f $ ограничена на $latex [a,b] $ (поскольку она интегрируема), так что при некотором $latex M : $
$latex |f(t)| \leq M \forall t \in [a,b] $.
Следовательно
$latex |F(x_{0}+ \Delta x) — F(x_{0})| = | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt | \leq | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} |f(t)|dt | \leq M | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} dt | = $
$latex = M |\Delta x| \rightarrow 0 $ при $latex \Delta x \rightarrow 0 $,
Откуда следует непрерывность функции $latex F $ $latex \blacksquare $
Литература :
- Конспект по курсу математического анализа. ( преп. Лысенко З.М.)
- А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова, О.В. Ходос, В.Н. Лукин, Т.Н. Шипина «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2011. стр. 128
Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Математический анализ 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Для чего мы воспользовались интегрируемостью функции $latex f $ на отрезке $latex [a,b] $. Что из этого следует?
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Дайте определение непрерывной функции.
Непрерывная функция — …
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 5
3.
Верно ли утверждение : Если функция $latex f $ непрерывна на отрезке $latex [a,b] $ то $latex \forall x \in [a,b] \exists F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt $
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Если функция $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt $ будет непрерывна на интервале $(a,b) $, а функция $ f $ интегрируема на отрезке $ [a,b] $, будет ли $ F(x) $ непрерывной и на отрезке $ [a,b] $
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Если $ \forall x \in [a,b] \exists \int_{a}^{x} f(t)dt = F(x)$ гарантирует ли это непрерывность $ F(x) $ на $ [a,b] $
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
Не хватает примеров.
Ссылки по ходу изложения ведут на все туже страничку википедии, где рассказан «весь интеграл Римана на одной странице». Это не очень хорошо. Нужно по возможности поставить ссылки на ранее изученные понятия и теоремы в пределах данного проекта (я назвал это термины).
Как я понимаю, Вы ссылаетесь на страницу 146 учебного пособия А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 480 с.? Так может так и написать. Правда я не вижу каких либо преимуществ этого издания по сравнению с теми, которые Вам рекомендованы на лекциях, но Вы — автор и Вам виднее.
Тесты «да-нет» не очень удачные по своей сути.