Теорема про остаток формулы Тейлора

Получим информацию об остатке.

Теорема (об остатке [latex]r_{n}(x)[/latex] ф-лы Тейлора)

[latex]f(t), {f}'(t), {f}»(t),\cdots , f^{(n)}(t)\in C[x_{0},x][/latex] и [latex]\exists f^{(n+1)}(t)[/latex], где [latex]t \in (x_{0},x)[/latex]. Пусть ф-ция [latex]\varphi \in C[x_{0},x][/latex] и [latex]\exists \varphi'(t) \neq 0[/latex]     [latex]\forall t(x_{0},x)[/latex]. Тогда [latex]\exists[/latex] т. [latex]\xi \in (x_{0},x)[/latex] : [latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi (x) -\varphi (x_{0})}{\varphi ‘(\xi)n!} * \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{1!}*(x-\xi)^{n}[/latex]

[latex]\square [/latex]
Введем вспомогательную ф-цию [latex]F(t)=f(x)-P_{n}(t,x)[/latex], т.е. [latex]P_{n}(t,x)=f(t)+\frac{{f}'(t)}{1!}(x-t)+\cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n}[/latex]

[latex]F(t)=f(x)-\left [ f(t)+\frac{{f}'(t)}{1!}(x-t)+\frac{{f}»(t)}{2!}(x-t)^{2}+ \frac{f^{(3)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+ \cdots+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n} \right ][/latex] =[latex]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)}{1!}(x-t)’ +\frac{f^{(3)}(t)}{2!}((x-t)^{2})’+ \frac{f^{(4)}(t)}{3!}((x-t)^{3})’ +\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}((x-t)^{n})’ \right ][/latex]=[latex]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)(x-t)+(x-t)’f'(t)}{1!} \right ][/latex]=[latex s=4]-\left [ f'(t)+ \frac{f»(t)}{1!}(x-t) +\frac{f'(t)}{1!}(-1)+ \frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^{2}+\frac {f»(t)}{2!}2(x-t)(-1)+\frac {f^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^{3}+3(x-t)^{2}(-1)\frac {f^{(3)}(t)}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}+ n(x-t)^{n-1}(-1)\frac {f^{n}(t)}{n!} \right ][/latex]

[latex]F'(t)=-\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}[/latex]
К паре ф-ций F(t) и [latex]\varphi (t)[/latex] на [latex][x_{0},x][/latex] применим теорему Коши о конечных приращениях [latex]\Rightarrow \exists[/latex] т. [latex]\xi \in (x_{0},x)[/latex]: [latex]\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}[/latex];
[latex]\frac {\overbrace {F(x)}^0-\overbrace{F(x_{0})}^{r_{n}(x_{0},x)}}{\varphi (x) — \varphi (x_{0})}=\frac {F'(\xi)}{\varphi ‘(\xi)}[/latex];

Уточняем!
[latex]F(x)=f(x) — P_{n}(x,x)=0;[/latex]
[latex]F(x_{0})=f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x)[/latex];
[latex]F'(\xi)=- \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi )^{n}[/latex];

Таким образом мы получаем следующую формулу:
[latex]\frac{0-r_{n}(x_{0},x)}{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}= -\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!\varphi(\xi)}(x-\xi)^{n}[/latex]. Отсюда
[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\varphi'(\xi)n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}[/latex].
[latex]\blacksquare[/latex]

 

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *