Определение производной

Определение:

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x_0 и пусть существует конечный предел отношения
\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<\infty
Тогда этот предел называют производной функции f в точке x_0 и обозначают:
f'(x_0) или y'(x_0) или \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0} или \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}.
f'(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) называется приращением функции в точке x_0
\Delta x=x-x_0 называется приращением аргумента в точке x_0.

Примеры:

  1. y=C => \Delta y=C-C=0 => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0 => C'=0;
  2. y=\sin x => \Delta y= \sin (x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}=>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=1; \sin x \sim x, x \to 0]=\cos\underset{\Delta x \to 0}{(x+\frac{\Delta x}{2})}=\cos x => (\sin x)'=\cos x;
  3. y=\cos x => \Delta y =\cos (x+ \Delta x)-\cos x= -2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2}) => \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x => (\cos x)' = -\sin x;
  4. y=a^x => \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x =>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=[a^x-1\sim x, x\to 0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(\Delta x\mathrm{ln}a)}{\Delta x}=a^x\mathrm{ln}a => (a^x)'=a^x\mathrm{ln}a;  (e^x)'=e^x;
  5. y=\log_a x=> \Delta y=\log_a (x+\Delta x) - \log_a x => \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=[\log_a x \sim \frac{x}{\ln a}, x \to 0]=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln a}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a} => (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a};  (\ln x)'=\frac{1}{x};
  6. y=x^\alpha => \Delta y = (x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}=x^\alpha \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}=[(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, x\to 0; (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1\sim\alpha\frac{\Delta x}{x}]=x^\alpha\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} => (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}

Практические примеры:

(5)'=0;
(2^x)'=2^x\ln 2;
(\log_3 x)'=\frac{1}{x \ln 3};
(x^5)'=5x^4;

Определение производной

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература:

Определение производной: 2 комментария

  1. «отношений приращения функции на приращение аргумента» — отношение чего-то к чему-то. А не «на»
    Чтобы 0 стал нижним индексом используют тег sub. В тестах это работает?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *