Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если \exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})в которой определены f,g  и h:f(x)=g(x)h(x),
причём lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f и g— эквивалентные при x\rightarrow x_{0} и пишут f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g
lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при x\rightarrow x_{0}

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  \alpha  и \beta были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было lim\frac{\beta }{\alpha }=1
Положив  \beta-\alpha =\gamma, будем иметь  \frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   \frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1 , то \frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0  , то есть\gamma есть бесконечно малая высшего порядка, чем  \alpha и  \beta \sim \alpha . Обратно, если дано, что \beta \sim \alpha , то \frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0 , а тогда  \frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1.
С помощью этого критерия, например, видно, что при x\rightarrow 0 бесконечно малая  sin\: x  эквивалентна x, а \sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  \left [ \frac{0}{0} \right ] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  \frac{\beta }{\alpha }. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Еслиf\sim f_{1} , а g\sim g_{1} , при x\rightarrow x_{0} , то если \exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)} , то  \exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} и lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=\frac{1}{4}

2) lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=lim_{t\rightarrow 0}1=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов: 1 комментарий

  1. Все эти style=»text-decoration: underline» нужно убрать. Это не соответствует ни идеологии применения CSS, ни привычному виду страницы. Если конечно, Вы не специально маскируете обычные подзаголовки под гиперссылки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *