Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если [latex]\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})[/latex]в которой определены [latex]f,g[/latex]  и [latex]h:f(x)=g(x)h(x)[/latex],
причём [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f[/latex] и [latex]g[/latex]- эквивалентные при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] и пишут [latex]f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g[/latex]
[latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1[/latex]
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex]

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  [latex]\alpha[/latex]  и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было [latex]lim\frac{\beta }{\alpha }=1[/latex]
Положив  [latex]\beta-\alpha =\gamma[/latex], будем иметь  [latex]\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }[/latex]
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex]  , то есть[latex]\gamma[/latex] есть бесконечно малая высшего порядка, чем  [latex]\alpha[/latex] и  [latex]\beta \sim \alpha[/latex] . Обратно, если дано, что [latex]\beta \sim \alpha[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex] , а тогда  [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex].
С помощью этого критерия, например, видно, что при [latex]x\rightarrow 0[/latex] бесконечно малая  [latex]sin\: x[/latex]  эквивалентна [latex]x[/latex], а [latex]\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x[/latex].
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  [latex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/latex] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  [latex]\frac{\beta }{\alpha }[/latex]. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если[latex]f\sim f_{1}[/latex] , а [latex]g\sim g_{1}[/latex] , при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] , то если [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}[/latex] , то  [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=[/latex][latex]\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}[/latex][latex]\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=[/latex][latex]\frac{1}{4}[/latex]

2) [latex]lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=[/latex][latex]\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}[/latex][latex]=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}1=1[/latex]

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов: 1 комментарий

  1. Все эти style=»text-decoration: underline» нужно убрать. Это не соответствует ни идеологии применения CSS, ни привычному виду страницы. Если конечно, Вы не специально маскируете обычные подзаголовки под гиперссылки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *