Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки [latex]a[/latex] называется:

[latex]\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).[/latex]

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a.[/latex] Говорят, что [latex]f(x)[/latex] имеет бесконечный предел в этой точке [latex](\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),[/latex] если:

[latex]\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.[/latex]

В этом случае функцию называют бесконечно большой при [latex]x\rightarrow a.[/latex] Данный общий случай можно разделить на два частных:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon[/latex]

и, соответственно

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.[/latex]

Пример 1

Дана функция [latex]f(x)=\frac{1}{x}:[/latex]
frac1x
Найти предел при [latex]x\rightarrow 0.[/latex]

Спойлер

Функция определена на всей вещественной оси кроме т. [latex]0[/latex]. Рассмотрим некоторую проколотую окрестность [latex]\dot{U}_{\delta }(0)[/latex]. Как видно, для [latex]\forall \varepsilon \: \exists\, \delta =\frac{1}{\varepsilon }[/latex] такое, что [latex]\forall x\in (0;|\delta |)\: |f(x)|>\varepsilon [/latex]. Отсюда, по определению следует, что эта функция бесконечно большая при [latex]x\rightarrow 0[/latex]. При этом на [latex](-\infty;0 )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=-\infty [/latex], а на [latex](0;+\infty )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=+\infty [/latex].

[свернуть]

Пределы на бесконечности

Число [latex]A[/latex] называют пределом функции [latex]f(x)[/latex] на бесконечности [latex](\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),[/latex] если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на [latex]+\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon[/latex]

и на [latex]-\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]

Пример 2

Рассмотрим функцию [latex]f(x)=\ln x^{2}:[/latex]
lnxpow2

Спойлер

При [latex]x\rightarrow \infty [/latex] значение функции монотонно растет. Для любого [latex]\varepsilon [/latex] и соответствующего ему [latex]\delta _{\varepsilon }[/latex] найдется такой [latex]x[/latex], например, [latex]x=\delta _{\varepsilon }+1[/latex], что [latex]f(x)> f(\delta _{\varepsilon })[/latex]. Иначе говоря, [latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }=\varepsilon:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]. Это значит, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty [/latex].

[свернуть]

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
  2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Тест


Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности: 2 комментария

  1. Спасибо, всё понятно. Только в тесте ошибка во втором вопросе: нет корректного определения проколотой окрестности — вместно интервалов даны точки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *