Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] , то она достигает своих точных граней, то есть

[latex] \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]  и

[latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] .

Доказательство:

[latex]\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x) [/latex]
Обозначим [latex]M=\sup f(x)[/latex] (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: [latex]\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M[/latex]
[latex]\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })[/latex]

Полагая [latex]\varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{n},…[/latex] получим последовательность [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]такую, что для всех [latex] n\in N [/latex]выполняются условия [latex]\forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M[/latex] откуда получаем [latex] \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n})[/latex] существует подпоследовательность [latex]\left \{ x_{n_{k}} \right \}[/latex]  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]  и точка [latex]\xi[/latex] , такие что [latex] \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi[/latex] ,  где  [latex]\xi\in [a;b].[/latex]
В силу непрерывности функции [latex]f[/latex] в точке [latex]\xi[/latex] [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )[/latex]

С другой стороны [latex]\left \{ f(x_{n_{k}}) \right \}[/latex] — подпоследовательность последовательности [latex]\left \{ f(x_{n}) \right \}[/latex], сходящейся к числу [latex]M.[/latex]
Поэтому  [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M[/latex]
В силу единственности предела последовательности заключаем, что[latex]f(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x); [/latex]

Утверждение [latex]\exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] доказано.

Аналогично доказывается [latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ: 1 комментарий

  1. Вопрос «Сформулируйте замечание» предполагает копирование туда текста со страницы? Как-то не очень удачно.
    Вейерштрасс заслуживает примеров и иллюстраций.
    Остальное понравилось

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *