Формула Тейлора с остатком в форме Пеано

Формулировка:

Если существует f^{(n)}(x_{0}) , то f(x)  представима в следующем виде:

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}}

Это выражение f(x)  называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции \varphi(x),\psi(x)  определены в  \delta   окрестности точки x_{0}  и удовлетворяют следующим условиям:

  1. \forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x);
  2. \varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=...=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 \psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=...=\psi^{(n)}(x_{0})=0
  3. \psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1}

Тогда \forall x\in U_{\delta}(x_{0})  существует точка \xi , принадлежащая интервалу с концами x_{0}  и x  такая, что \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}

Доказательство 

Пусть, например, x \in (x_{0},x_{0}+\delta) . Тогда применяя к функциям \varphi  и \psi  на отрезке [x_{0},x]  теорему Коши и учитывая, что \varphi(x)=\psi(x)=0  по условию, получаем

\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}, x_{0}<\xi_{1}<x

Аналогично, применяя к функциям \varphi'  и \psi'  на отрезке [x_{0},\xi_{1}] теорему Коши, находим

\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi''(\xi_{2})}{\psi''(\xi_{2})}, x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}

Из этих двух равенств следует, что

\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi''(\xi_{2})}{\psi''(\xi_{2})}, x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta

Применяя теорему Коши последовательно к функциям \varphi''  и \psi'' ,\varphi^{(3)}  и \psi^{(3)} ,…,\varphi^{(n)}  и \psi^{(n)}  на соответствующих отрезках получаем

\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=...=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}

где x_{0}<\xi<\xi_{n}<...<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta

Равенство доказано для случая, когда x \in(x_{0},x_0+\delta) , аналогично рассматривается случай, когда x \in(x_0-\delta,x_{0}) .

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования f^{(n)}(x_{0})  следует, что функция f(x_{0})  определена и имеет производные до (n-1)  порядка включительно в \delta  окрестности точки  x_{0}

Обозначим \varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n} , где  r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) .

Функции \varphi(x)  и \psi(x)  удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер n+1  на n-1

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0  получаем

\frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} , \xi=\xi(x)(*)

где x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta  или x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0} .

Пусть x\to x_{0} , тогда из неравенств следует, что \xi \to x_{0} , и в силу существования f^{(n)}(x_{0})  существует

\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}=

=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0

Так как выполняются равенства r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=...=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0

Таким образом, правая часть формулы (*)  имеет при x\to x_{0}  предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0} , то есть f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) , что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию y=\cos^{2}(x)  в окрестности точки x_{0}=0   по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})

Представим функцию \cos^{2}(x)  в виде:

\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)

Заменим в табличном разложении x  на 2x  и подставим представление косинуса.Получим

\cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-...+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1})

Источники:

  1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
  2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Формула Тейлора с остатком в форме Пеано: 1 комментарий

  1. Странная ссылка http://www.academiaxxi.ru. Это реклама?
    Ссылайтесь на конкретные материал с названием и автором. Ссылки типа «на одном сайте в интернете» неприемлимы.
    Что за формула (*) упоминается в тестах? Она где-то в Ваших материалах так обозначена?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *