Асимптоты и их поиск

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция f определена на отрезке (a; + \infty ). Прямая y = kx + b называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции f при x \to + \infty , если

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - (kx + b)) = 0

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при x \to - \infty .

Итак, прямая x=0 является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции y = \frac{1}{x}.
Определение 2. Пусть функция f определена на ( - \infty ,a). Прямая y = kx + b называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции f при x \to - \infty если

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (f(x) - (kx + b)) = 0

Определение 3. Прямая x = {x_0} называется вертикальной асимптотой графика функции f, если хотя бы одна из границ или

f(x_0 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции  f(x) могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции f, надо найти такие значения{x_0}, для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции y = {e^{\frac{1}{{x - 2}}}}. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси R, кроме точки x=2. Вычислим пределы:

\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 - 0} {e^{\frac{1}{{x - 2}}}} = 0

и

\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 + 0} {e^{\frac{1}{{x - 2}}}} = \infty

Следовательно, прямая x=2 является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при x \to 2 + 0.

ex

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции y = \frac{1}{x}. Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

\mathop {\lim }\limits_{x \to - 0} \frac{1}{x} =- \infty

и

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} =\infty

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

gip
Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции f имел при x \to \pm \infty наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, что бы

k = \mathop {\lim }\limits_{x \to\pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}

b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) - kx)

Пример 3. Найти асимптоты графика

f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x}

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

\mathop {\lim }\limits_{x \to +0} \frac{x - 3x + 1}{x}=+\infty

\mathop {\lim }\limits_{x \to -0} \frac{x - 3x + 1}{x}=-\infty

Следовательно, прямая x=0 — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}

Так как 1/x \to 0 при x\to \infty, то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая y=x-3 является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку 1/x>0 при x>0 и 1/x<0 при x<0, кривая графика лежит выше асимптоты при x \to -\infty.

par

Литература

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
  • Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  • Исследование функций

Асимптоты и их поиск: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *