Бесконечно большие последовательности, их свойства и связь с бесконечно малыми последовательностями

Определение

Последовательность \left \{ x_{n} \right \}  называется бесконечно большой, если \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon , или \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty .

Геометрическая интерпретация

Назовем \varepsilon -окрестностью точки \infty множество E=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x\right|>\varepsilon\right\} .
Введем множества E_{1}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x<-\varepsilon\right\} и E_{2}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x>\varepsilon\right\} . Назовем эти множества \varepsilon -окрестностями точек -\infty и \infty соответственно. Тогда E=E_{1}\cup E_{2} .

E-okr infty

Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

  • Если \left\{x_{n}\right\} — бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера n определена последовательность \left \{ \frac{1}{x_{n}}\right \} , которая является бесконечно малой.
  • Если все элементы бесконечно малой последовтельности \left \{ \alpha_{n}\right \} отличны от нуля, то последовательность \left \{\frac{1}{\alpha_{n}}\right \}  — бесконечно большая.

Доказательство.

  • Пусть \left\{x_{n}\right\} — бесконечно большая последовательность, т.е. \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon . Это означает, что при n\geq N_{\varepsilon} все элементы x_{n}\neq 0 , поэтому последовательность \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} имеет смысл с номера N_{\varepsilon} .
    Пусть A — любое положительное число, тогда для числа \frac{1}{A} \exists\,N_{1}:\forall n\geq N_{1}\left|\frac{1}{x_{n}}\right|<A, что по определению означает, что последовательность \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} — бесконечно малая.
  • Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей

  1. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
  2. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
  3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
  4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

  1. Пусть \left\{x_{n}\right\},\;\left\{y_{n}\right\} — бесконечно большие последовательности.
    По определению:
    \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{1}>0:\;\forall n\geq N_{1} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon и \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{2}>0:\;\forall n\geq N_{2} \;\;\left|y_{n}\right|\geq\varepsilon .
    Тогда для последовательности \left\{x_{n}+y_{n}\right\} :
    \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N=\max\left\{N_{1},N_{2}\right\}>0:\;\forall n\geq N \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon , что означает, что последовательность \left\{x_{n}+y_{n}\right\} — бесконечно большая.
  2. Пусть последовательность \left\{x_{n}\right\} — бесконечно большая, \left\{y_{n}\right\} — ограниченная. Тогда по определению \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon и \exists\,C:\;\forall n\in\mathbb{N} \left|y_{n}\right|<C .
    Рассмотрим \left|x_{n}+y_{n}\right| :
    \left|x_{n}+y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\frac{\left|x_{n}+y_{n}\right|}{\left|x_{n}\right|}=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}}+\frac{y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\left(1+0\right)=\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon
    (используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
    Получили: \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon , что означает, что последовательность \left\{x_{n}+y_{n}\right\} — бесконечно большая.
  3. Доказательство аналогично предыдущему.
  4. Пусть последовательность \left\{x_{n}\right\} — бесконечно большая, C \neq 0 — константа. Тогда по определению \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon .
    Рассмотрим \left|x_{n}\cdot C\right| :
    \left\{x_{n}\right\}\rightarrow\infty, \Rightarrow \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}\rightarrow 0 (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
    C — константа, \Rightarrow\left\{\frac{1}{C}\right\} — также константа, т.е. ограниченная.
    \left \{ \frac{1}{x_{n}\cdot C} \right \}=\left \{\frac{1}{x_{n}}\cdot\frac{1}{C} \right \}\rightarrow 0\Rightarrow\left \{ x_{n}\cdot C \right \}\rightarrow\infty , что означает, что последовательность \left\{x_{n}y_{n}\right\} — бесконечно большая.
    (используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Примеры.

  1. Последовательность \left\{n\right\} является бесконечно большой, т.к. \forall\varepsilon\>0\;\exists N=\left[\varepsilon\right]+1:\;\forall n\geq N\;n>\varepsilon .
  2. Последовательность \left\{\frac{n^2}{n+1}\right\} является бесконечно большой, т.к. \frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{\infty}{1+0}=\infty .
  3. \frac{n}{\left(\cos n\right)^2}=n\cdot\frac{1}{\left(\cos n\right)^2} — бесконечно большая, т.к. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n=\infty , а \frac{1}{\left(\cos n\right)^2} — ограниченная, сохраняющая знак.
  4. \left\{-\sqrt{n}\right\}
    Выберем произвольное число \varepsilon>0:\;-\sqrt{n}\leq-\varepsilon;\; N>\varepsilon^2 . Получили: \forall\varepsilon>0\;\exists N=\left[\varepsilon^{2}+1\right]:\,\forall n\geq N\;\; -\sqrt{n}<-\varepsilon , т.е. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-\sqrt{n}\right)=-\infty .

Литература

Тест по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности»


Таблица лучших: Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Бесконечно большие последовательности, их свойства и связь с бесконечно малыми последовательностями: 2 комментария

  1. В определении бесконечно большой последовательности ( в самом начале) допущена ошибка. Модуль икс должен быть строго больше эпсилон, иначе задаётся просто некоторая ограниченная снизу последовательность.

    1. Я не вижу ошибки.
      Если для любого сколь угодно большого числа все члены последовательности, начиная с некоторого номера, будут больше этого числа (или равны ему), то последовательность называется бесконечно большой.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *