Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f'(\xi ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (\xi ,f(\xi )). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение \xi \in (a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (\xi ,f(\xi )) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 \forall x\in (a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем \forall x\in (a,b) и зафиксируем [x,x_{0}]\subset (a,b) ([x_{0},x]\subset (a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x_{0}]
    f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0}), \forall x\in (a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. \forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]\subset [a,b]: f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a). f(x)-f(a)=k(x-a). f(x)=kx+b. b=f(a)-ka

lag

  1. Следствие

    Пусть \varphi (x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x_{0}\in (a,b))
    3. \exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Тогда \exists \varphi '(x_{0}), причем эта производная равна \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Его доказательство:

    Пусть \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)=A, a<x<b, x\neq x_{0}. По Теореме Лагранжа\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi '(\xi )(x-x_{0}), где \xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow \varphi '(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}. (Будем считать, что функция однозначна) \xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi '(x_{0})

Пример

Найти функцию \Theta =\Theta (x_{0},\Delta x) такую, что f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x), если f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0

... показать

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *