Единственность предела функции, локальная ограниченность функции, имеющей предел

1. Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция f(x) в точке a имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c. Возьмём \varepsilon = \frac{|b-c|}{2}, по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая  
\delta-окрестность точки a (\dot{U}_{\delta }(a)), в которой одновременно будут выполнятся неравенства |f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2} , тогда в точках этой же окрестности |b-c|=|(b-f(x))+(f(x)-c)| \leq |f(x)-b|+|f(x)-c|< \frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=|b-c|. Получили противоречие |b-c| < |b-c|. Отсюда, функция f(x) в точке a имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции f(x) при x\rightarrow a равняется A, то найдётся окрестность точки a, во всех точках которой функция f(x) ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: \forall \varepsilon >0  \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon. Возьмём \varepsilon =1. Из условия теоремы следует существование окрестности \dot{U}_{\delta }(a). Следовательно, |f(x)-A|<1. Перепишем это следующим образом:A-1<f(x)<A+1. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции f(x).

 Литература

Тест

Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *