Метод интегрирования по частям



Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$
или короче $$\int udv=uv -\int vdu.$$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$.
Пример 1.

\int {\ln xdx} =  \left[ \begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array} \right] = x\ln x - \int{x \frac{{dx}}{x}} =  x\ln x - x + C

Пример 2.

\int{x\cos xdx} =  \left[ \begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array} \right] =  x\sin x - \int {\sin xdx} =  \sin xdx + \cos x + C

Пример 3.

В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например

 I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} =  \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array} \right] =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}=  \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array} \right] =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} - \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} - \frac{a^2}{b^2}I
Отсюда

I =  \int {e^{ax}\sin bxdx} =  \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx - b\cos bx) + C

По аналогии,

\int {e^{ax}\cos bxdx} =  \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C

Литература

Смотрите также

Метод интегрирования по частям

Тест на тему: «Метод интегрирования по частям».


Таблица лучших: Метод интегрирования по частям

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метод интегрирования по частям: 3 комментария

  1. Разбейте длинные выкладки после знаков равенства. Это позволит системе сделать корректный перенос.
    Ни в одной Вашей работе не выделены термины и ссылки для них. Ключевые слова определил плохо.
    Тесты не вообще сделал? Ну, Сергей — не ожидал.
    Зачесть работу не могу.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *