Содержание | показать> |
---|---|
Утверждение 1
Рассмотрим многочлен степени , т. е. функцию вида
Эта функция непрерывна на
Доказательство | показать> |
---|---|
Рациональная функция, т. е. функция вида где
— многочлены степени
и
соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена
Доказательство | показать> |
---|---|
Утверждение 2
Если и
то
Доказательство | показать> |
---|---|
Следствие
Первый замечательный предел
Замечание
Из неравенстваследует, что
при
Утверждение 3
Для всех справедливо неравенство
Доказательство | показать> |
---|---|
Утверждение 4
Функции и
непрерывны на всем множестве
Доказательство | показать> |
---|---|
Следствие
Функция — непрерывная при
Утверждение 5
Рассмотрим несколько функции с их графиками
строго возрастает и непрерывна
График показать> строго спадает и непрерывна
График показать> строго возрастает и непрерывна
График показать> строго спадает и непрерывна
График показать>
Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно
Утверждение 6
Функция — монотонна непрерывна на
то есть
и тогда функция — монотонна и непрерывна(как обратная)
Утверждение 7
Функции, заданные формулами
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на , причем
— нечетная функция, а
— четная функция.
График | показать> |
---|---|
Из определения функций и
следует, что
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
Функция определена и непрерывна на
а функция
определена и непрерывна на множестве
с выколотой точкой
Обе функции нечетные.
График | показать> |
---|---|
Утверждение 8
Пусть функции и
определены на промежутке
причем для всех
выполняется условие
Тогда функцию
определяемую формулой
будем называть показательно-степенной и обозначать
Таким образом, исходя из определения
Если — функции, непрерывные на
то функция
непрерывна на
как суперпозиция непрерывных функций
и
.
Тест
Непрерывность элементарных функций
Явно хорошо.
Стоит заметить, что, как мне кажется, в доказательстве утверждения под номером 4 совершен неэквивалентный переход, а именно разность синусов |sin(x)-sin(x’)| во второй строчке каким-то чудом преобразовалась в 2*|sin[(x-x’)/2]*cos[(x-x’)/2]| тогда как, несомненно, разность синусов должна быть равна 2*|sin[(x-x’)/2]*cos[(x+x’)/2]| (там сумма аргументов у косинуса, у вас же разница).
Впрочем, на верность решения это не повлияло, тк все равно этот косинус меньше либо равен 1.
Спасибо. Действительно Станислав допустил ошибку (описку). Исправлено