Оценка погрешности формулы Тейлора

Если остаток в формуле Тейлора |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0}  ,то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}  .

В свою очередь остаточный член: r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}  — определяет погрешность формулы.

Задание:

Записать разложение по формуле Маклорена (x_{0}=0 ) с остатком в форме Лагранжа. Оценить абсолютную погрешность.

Пример 1

\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}  , причём |x| \leq \frac{1}{2}

Решение

Исходная формула:

\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Обобщим запись:

\sin x=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\rightarrow 0}{o(x^{2k+1})}

Выясним промежуток для переменной:

x \in \left ( -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )

Запишем разложение по формуле Тейлора:
\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin^{(4)}( x )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +4\frac{\pi }{2} )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +2\pi )}{4!}x^{4}

Пользуясь правилом приведения:

\sin( x +2\pi )=\sin x
\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin x}{4!}x^{4}

Оценим последнее слагаемое:

\left | \frac{\sin x}{4!}x^{4} \right |= \frac{\left | \sin x \right |}{4!}\left | x^{4} \right |\leq \frac{\left | x^{4} \right |}{4!}\leq \frac{\frac{1}{2}}{4!}=\frac{1}{16\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{384}

Пример 2

e^{x}\simeq1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}  , 0\leq x\leq 1

Решение

Выпишем и оценим остаток в формуле Тейлора:

|r_{n} ( x_{0},x )|=\left | \frac{e^{x }}{(n+1)!}x^{n+1} \right |\leq \left | \frac{e^{x }}{(n+1)!} \right |

Учитывая промежуток для переменной, запишем и оценим:
\begin{Bmatrix}  x_i \in \left ( 0;1 \right )\  e\approx 2,71  \end{Bmatrix}\Rightarrow \left | \frac{e^{x_i }}{(n+1)!} \right |\leq \frac{3}{(n+1)!}

Пример 3

\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}  , 0\leq x\leq 1

Решение

Запишем разложение:

\sqrt{1+x}=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}x^{3}

Найдём производную:

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}
f^{(2)}(x)=\frac{1}{2}((1+x)^{-\frac{1}{2}})'=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}
f^{(3)}(x)=(-\frac{1}{4})(-\frac{3}{2})(1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}
f^{(3)}(x_i )=\frac{3}{8}(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}

Оценим последнее слагаемое:

\left | \frac{3}{8}\cdot \frac{(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}}{3!} x^{3}\right |=\left |\frac{(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}}{16} x^{3} \right |\leq \frac{2^{-\frac{5}{2}}}{16}\cdot 1< \frac{1}{16}

Источники:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *