Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции

Формулировка:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то $f$ ограниченна на отрезке $[a,b]$.
Если $ f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f $ ограниченна на $[a,b]$, то есть $ \exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]: \left| f\left( x \right) \right| \leq c $

Доказательство

От противного
Пусть $f$ неограниченна на отрезке $[a,b]$, тогда :

$ \forall c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c $
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1 $
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2 $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $
$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

Получим последовательность $ \{x_n\} \subset [a,b] $ , то есть последовательность $ \{x_n\} $ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $ \xi $ , то есть

$ lim_{k\to\infty}{{x}_{{n}_{k}}}=\xi $

$ \xi \epsilon [a,b] $ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $ \xi $ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$ lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=f(\xi) $
С другой стороны
$ |f({{x}_{{n}_{k}}})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=\infty $
А это противоречит единственности предела
$ \blacksquare $

Замечание:
Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!

Литература:

Тест:

Первая теорема Вейерштрасса

Тест по теме первая теорема Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции: 3 комментария

  1. Поправьте в самой первой строчке: в начале квантор существования замените на квантор всеобщности, т. к. для ЛЮБОГО положительного числа с найдется Х

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *