Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы


Подпоследовательности

Определение.

Пусть задана некоторая последовательность {x_n} и
n_1<n_2<...<n_k<...
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
{x_n}_1, {x_n}_2,...{x_n}_k...
называется подпоследовательностью последовательности {x_n}.

Пример.
Пусть задана последовательность

1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},..,\frac{1}{n},...
Запишем некоторые ее подпоследовательности:

1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},...,\frac{1}{2n-1}...  (n_1=1,n_2=3,...,n_k=2k-1,...);

\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...,\frac{1}{2^n},...    (n_1=2,n_2=4,...,n_k=2^k,...);

\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{15},...,\frac{1}{5n},...  (n_1=5,n_2=10,...,n_k=5^k,...);
Но последовательность

1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{4},...,\frac{1}{n},...
уже не является подпоследовательностью последовательности 1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n},....

Определение.
Будем писать
x \to +\infty (\lim\limits_{x \to \infty }=+ \infty)
и говорить, что последовательность {x_n} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа c найдется номер N \in \mathbb{N}, такой что x_{n}>c при любом n>N.
Аналогично даются определения для случая x \to -\infty,x \to \infty.


Частичный предел последовательности

Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример.

Пусть {x_n}=(-1)^{n}.Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности x_{2k} и x_{2k-1} сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  {x_n}=(-1)^{n}.


Верхний и нижний пределы

Определение.
Пусть {x_n} — некоторая последовательность, а L — множество всех её частичных пределов.Тогда supL — называется верхним пределом последовательности и обозначается supL=\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{n}.

Нижний предел:

infL=\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{n}

Пример 1.

Для последовательности x_{k}=(-1)^{k}:

\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{k}=\lim\limits_{n \to \infty}\inf\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)=-1.

\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{k}=\lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(1)=1.

Пример 2.

Для последовательности x_{k}=-k^{2}:

\varliminf\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=-\infty.

\varlimsup\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=\lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-k)^{2}=\lim\limits_{n \to \infty}(-n^{2})=-\infty.

 Литература.

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  • Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1,стр. 94

Подпоследовательности. Частичный предел последоват ельности. Верхний и нижний пределы

Тест

 

 

 

Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы: 1 комментарий

  1. Формулы не должны быть картинками даже в тестах.
    Обязательно проставьте метки (это ключевые слова и словосочетания для поиска)
    Почему Вы объединили несколько записей в одну? Разве так было на страничке «Математический анализ»?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *