Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами

Теорема: (о трёх последовательностях)

Если последовательности   \left \{ x_{n} \right \}, \left \{ y_{n} \right \}, \left \{ z_{n} \right \} таковы, что  x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n} для всех  n \geq N_{0},  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a, то последовательность  \left \{ y_{n} \right \} сходится и  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a.

Доказательство:

По определению предела для любого  \varepsilon > 0 найдутся номера  N_{1}=N_{1}(\varepsilon ) и  N_{2}=N_{2}(\varepsilon ) такие, что  x_{n}\in U_{\varepsilon }(a) при всех  n\geq N_{1} и  z_{n}\in U_{\varepsilon }(a) при всех  n\geq N_{2}. Отсюда и из условия  x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n} для всех  n \geq N_{0}  следует,

3что при всех  n\geq N,  где N = max \left ( N_{0},N_{1},N_{2} \right ), выполняется условие  y_{n}\in U_{\varepsilon }(a). Это означает, что существует  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a.

Пример:  

Пусть  a_{n}\geq -1 при всех   n\in \mathbb{N} и  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0  Доказать, что

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}

Решение:

Докажем сначала, что

1-\left | a_{n} \right |\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.

Действительно, если  a_{n}\geq 0, то

1\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1+\left | a_{n} \right |

а если -1\leq a_{n}\leq 0, то

1\geq \sqrt[k]{1+a_{n}}\geq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1-\left | a_{n} \right |,

откуда следуют неравенства  1- \left | a_{n} \right | \leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.. Применяя теорему (о трёх последовательностях), получаем  утверждение  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}.

Теорема:  

Если  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=b, причем  a<b, то
\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}.

Доказательство:

Выберем  \varepsilon > 0  таким, чтобы \varepsilon-окрестности  точек а и не пересекались (возьмем, например,  \varepsilon =\frac{\left ( b-a \right )}{3}>0).  Согласно определению предела по заданному  \varepsilon можно найти номера  N_{1} и   N_{2} такие, что   x_{n}\in U_{\varepsilon}(a) при всех   n\geq N_{1} и    y_{n}\in U_{\varepsilon}(b) при всех   n\geq N_{2}. Пусть  N_{0}= max\left ( N, N_{2} \right ). Тогда при всех   n\geq N_{0} выполняются неравенства

x_{n}<a+\varepsilon <b-\varepsilon < y_{n}

откуда следует утверждение

\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}.

Следствие: 

Если  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b, и  \forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}  то

a\geq b.

Доказательство: 

Предположим, что неравенство   a\geq b не выполняется. Тогда a < b
и по предыдущей теореме справедливо утверждение

\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n},

которое противоречит  условию

 \forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}.

Поэтому должно выполняться неравенство  a\geq b.

Замечание:  

В следствии  утверждается, что если соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих последовательностей. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется, т. е. если x_{n}>y_{n} при n\geq N_{0} и последовательности  \left \{ x_{n} \right \},\left \{ y_{n} \right \} сходятся, то   \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}.

Например:

Если  x_{n}=1+\frac{1}{n},~ y_{n}=1-\frac{1}{n},, то  x_{n}> y_{n},~ n\in \mathbb{N}, но

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.42-44

Сходящаяся последовательность

Таблица лучших: Сходящаяся последовательность

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *