Свойства функций непрерывных в точке

  • Если функция f непрерывна в точке a, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки :
    \exists c>0   \exists U_\delta(a) :
    \forall x \in {U_\delta(a)} : |f(x)| < c
    Следует из свойств пределов.
  • Если функция f непрерывна в точке a и f(a)\neq 0, то в некоторой окрестности точки a знак функции совпадает со знаком числа f(a):
    \exists U_\delta(a) : \forall x \in {U_\delta(a)} \rightarrow sign f(x)=sign f(a)
    Следует из свойств пределов.
  • Если f и g непрерывны в точке a, то функции :
    f \pm g , f*g , \frac{f}{g} непрерывны в точке a.
    Следует из непрерывности и свойств пределов.
  • Если z=f(y) непрерывна в точке y, а y=\varphi(x) , непрерывна в точке x_0 причем y_0=\varphi(x_0) , то в некоторой окрестности x_0 определена сложная функция равная f[\varphi(x)] которая также непрерывна в точке x_0 :
    \left.\begin{matrix}\lim\limits_{y\to y_0}f(y)=f(y_0)  \\ \lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=\varphi(x_0)\end{matrix}\right\} \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\varphi(x_0)]
    Композиция непрерывных функций также является непрерывной.

Литература:

функции непрерывные в точке

Тест на тему «функции непрерывные в точке»:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *