Теорема о существовании верхней и нижней грани

Если X \neq \varnothing и Xограничено сверху (снизу) в \mathbb{R}, то \exists \sup X<\infty. (\exists \inf X>-\infty)

\square Докажем случай для supremum’а.

Пусть E — множество всех верхних границ множества X, то есть X\leq E. По аксиоме непрерывности \exists c \in \mathbb{R}:X\leq c \leq E.

71

\left.\begin{matrix}  X\leq c\leq E; \Rightarrow X\leq c;\\X\leq c\leq E; \Rightarrow c\leq E;  \end{matrix}\right\} \Rightarrow c=\sup X<\infty. \blacksquare

Аналогично доказывается существование infimum’а.

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.8.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.45.

Подробнее на:

Wikiversity

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *