Теорема Ферма о корне производной

Формулировка

Если функция имеет локальный экстремум в точке x_{0} и дифференцируема в этой точке, то f'(x_{0})=0

Доказательство

Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке x_{0}. Тогда, по определению локального минимума для всех x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ) выполняется неравенство f(x)-f(x_{0})\geq 0.
Если x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) , то x-x_{0}< 0, тогда из условия f(x)-f(x_{0})\geq 0 следует, что
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,
а если x\in (x_{0},x_{0}+\delta ), то выполняется неравенство
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.
Так как функция f предел при x\rightarrow x_{0} в левой части неравенства \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0, равный f_{-}^{'}(x_{0})=f'(x_{0}). По свойствам пределов из \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0 следует, что
f'(x_{0})\leq 0.
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0 получаем
f'(x_{0})\geq 0.
Из неравенств f'(x_{0})\leq 0 и f'(x_{0})\geq 0 следует, что f'(x_{0})=0.

Пример

Функция f(x)=x^{2} имеет на отрезке [-1,1] точку минимума x_{0}=0. Производная функция существует при всех x: f'(x)=2x. В точке минимума производная действительно оказывается равной 0. f'(x_{0})=f'(0)=0, так что утверждение теоремы Ферма выполнено.

ferma

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.164-165
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
  • www.pm298.ru
  • www.bymath.net

Теорема Ферма о корне производной: 1 комментарий

  1. Добавьте варианты для открытого вопроса с разной стоимостью в зависимости от точности ответа
    Вычитайте текст про 300 лет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *