Формула конечных приращений Лагранжа

Формулировка

Если функция \in C[a,b] и дифференцируема на (a,b), то \exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

Доказательство

Рассмотрим функцию \exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось условие \varphi (a)=\varphi (b), т.е. f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b. Отсюда находим
\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Так как функция \varphi (x)непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка \xi \in (a,b) такая, что \varphi '(\xi )=f'(\xi )+\lambda =0. Отсюда в силу условия \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} получаем равенство
f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
равносильное равенству f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

Пример

Доказать что ln(1+x)<x при 0<x

... показать

Формула конечных приращений Лагранжа

Этот тест был разработан для проверки усвоенных знаний по данному разделу

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.166-168
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *